 |
|
Численное интегрирование
Изучаемые вопросы: Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Квадратурные формулы Гаусса. Задачи оптимизации. Формулы Эйлера и Грегори. Формулы Ромберга. Стандартные программы численного интегрирования. Построение программ с автоматическим выбором шага интегрирования.
Здесь также после изучения материала опорного конспекта и письменных лекций Вам следует решить одну из задач контрольной работы согласно «Методическим указаниям к выполнению контрольной работы.
1.3.1. Приближенное вычисление определенного интеграла
Простейшие формулы для приближённого вычисления определённого интеграла называются квадратурными. В многомерном случае их называют также кубатурными. К простейшим квадратурным формулам относятся формулы прямоугольников, трапеций и формула Симпсона, объединённые общим названием – квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Все эти формулы основаны на свойстве аддитивности определённого интеграла, а именно: интеграл по сумме отрезков равен сумме интегралов по этим отрезкам. Поэтому, если нужно вычислить определённый интеграл от некоторой функции 
вдоль отрезка 
, то его можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам разбиения интервала 
: 
,где
.
Задача состоит в выборе достаточного числа разбиений отрезка (отрезки 
, как правило, выбираются одинаковыми), и удачной замене подынтегральной функции . Обычно она заменяется интерполяционным многочленом степени 
:
, (1)
где 
– остаточный член интерполяции.
Т. о., на каждом частичном промежутке
,
где 
– приближённое значение интеграла на частичном промежутке, а 
– величина ошибки на том же промежутке.
Соответственно, приближённое значение интеграла 
, (2)
а ошибка
. (3)
На рис. 1 представлена геометрическая интерпретация определённого интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, графиком функции и прямыми 
, и интеграла 
на частичном промежутке 
. (Заштрихованная криволинейная трапеция).
Заметим здесь, что если считать шаг разбиения в методе Симпсона равным целому, без деления пополам, то в расчётах, вместо формулы (2.16) (п.2.4 Учебного пособия), можно использовать следующую:
. (4)
Соответствующие формулы, вместе с оценками погрешностей и примерами вычислений Вы можете найти в Учебном пособии.
Более полное изложение этой темы – в [7], c.86-163.
Вопросы для самопроверки по теме 1.3
1. Напишите формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона.
2. Сформулируйте обобщённую теорему о среднем.