Контрольная работа №1

. (1)

Наиболее успешно для интерполяции используется многочлен Ньютона, в записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности.

2.3. Конечные разности

Пусть для значений , где h – шаг интерполяции, известны значения функции

Определение: Конечной разностью первого порядка называется разность

(2)

Аналогично определяются конечные разности второго и более высокого порядка

(3)

Конечные разности при вычислении удобно записать в табл.1.

Таблица 1

i	xi	yi	Dyi	D2yi	D 3yi	D4 yi
	x0	y0	Dy0	D2y0	D3y0	D4y0
	x1	y1	Dy1	D2y1	D3y1
	x2	y2	Dy2	D2y2
	x3	y3	Dy3
	x4	y4

Отметим, что число (порядок) конечных разностей всегда на единицу меньше числа узлов.

2.4. Интерполяционный полином Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде

(4)

или

. (5)

Можно показать, что оценка погрешности R_n(x) при замене f(x) полиномом P_n(x) имеет вид:

R_n(x)= . (6)

2.5. Решение задачи

Пример 1.

Закон движения некоторого объекта y = f(x) представлен в табл. 2 (x – время, y –путь).

Таблица 2

Требуется найти пройденный объектом путь к моменту x = 3,5.

○Для вычисления y = f(3,5) необходимо на основе табл.1 получить математическое описание функциональной зависимости y = f(x).

Если использовать критерий точного совпадения в узлах, то число определяемых параметров аппроксимирующей функции равно числу точек. При выборе такого критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов.

Заполним таблицу конечных разностей для экспериментальных данных, приведенных в табл.2. Вычисления удобно проводить с использованием табличного процессора Excel (табл.3).

Таблица 3.

Видим, что здесь шаг интерполяции h = 1. Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей, т.е., по формуле (4) или (5) имеем:

.

Подставим наши данные и получим, что

Тогда путь , пройденный к моменту , составит величину

.●

Рис. 1

При отделении действительных корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) можно руководствоваться следующими соображениями:

если на концах отрезка [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)×f(b)<0), то между точками а и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;

если же f(a)× f(b)>0, то между а иb имеется четное число корней или их совсем нет;

если f(a)× f(b)<0 и либо первая производная f¢(x), либо вторая производнаяf ^¢¢(x) не меняют знака на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].

2.3. Уточнение корней

Численный метод, при котором уточняется первоначальное грубое приближение, называется итерационным методом или методом последовательных приближений. Каждый шаг этого метода называется итерацией.

Если при последовательных итерациях (к = 1,2,...) получаемые величины х^(к) все ближе приближаются к истинному значению корня x, то итерационный процесс будет сходящимся,в противном случае – расходящимся. При этом различают монотонную и колебательную сходимость (расходимость) в зависимости от того, с одной или с разных сторон осуществляется приближение (удаление) к (от) искомому решению.

Для реализации итерационного процесса должны быть заданы начальное приближение х⁽⁰⁾ и точность e, с которой требуется найти решение уравнения. Первоначальное грубое приближение х⁽⁰⁾ следует задавать из физических соображений и по результатам отделения корней. Все остальные приближения получаются из итерационной формулы, соответствующей используемому методу решения уравнения.

Условие окончания итерационного процесса (нахождения значения корня с точностью e) имеет вид

Ѕx^(к+1) - x^(к)Ѕ=< e, k = 0,1,2,3,… . (9)

2.3.1 Уточнение корней Методом Ньютона

Опишем процедуру уточнения корня , который отделён и находится на отрезке . Уточнение корня проведём, используя итерационную формулу Ньютона

, (10)

где – приближение к корню на k-ом шаге (на k-ой итерации), . В пределе: при .

Начальное приближение – это любая точка из отрезка , удовлетворяющая условию сходимости итерационного процесса (1)

. (11)

Обычно в качестве значения используют либо левый, либо правый конец отрезка .

Пример 1.

Уточнить корень уравнения на отрезке , сделав три шага по формуле Ньютона.

○Вычислим первую и вторую производные функции . Получим и .

Итерационное уравнение в нашем случае запишется так

,

или после приведения дробей к общему знаменателю в правой части последнего соотношения, получим более удобное для дальнейших вычислений уравнение

. (12)

В качестве начального приближения возьмём правый конец отрезка .

Проверяем условие сходимости (11)

.

Условие сходимости метода Ньютона для выполнено. Последовательно применяя соотношение (3), получим:

; ;

.

Уточнённое значение корня .

В качестве оценки абсолютной погрешности, полученного результата можно использовать величину .●

Задание 3

Приближенное интегрирование с заданным шагом

1. Цель работы

Изучение способов приближенного интегрирования

2. Основные теоретические положения

2.1. Постановка задачи

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

I = . (13)

Методы приближенного интегрирования основаны на использовании геометрической интерпретации значения определенного интеграла, как площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a, x = b и кривой f (x) (рис.2).

f(x) f(x)

x 0 a b

Рис.2

Для вычисления интересующей нас площади (см. рис.3) разобьем область интегрирования на n равных частей точками:

x = a, x₁, x₂, ... , x_i, x_i+1, ... , x _n = b. (14)

f(x) f(x) Рис.3

I_i

x

0 х= a х_i x_i+1 х= b

Тогда I = ,

где I_i= . (15)

Значит, для вычисления интеграла (13) необходимо вычислить n площадей фигур криволинейных трапеций (рис.3).

2.2. Интегрирование функций, полученных из экспериментальных данных

Как правило, в результате эксперимента получают дискретные данные, т.е. в узлах х_i производят измерение значений некоторой функции y_i, (см.работу 1).

Интегрирование дискретных данных включает в себя предварительную аппроксимацию или интерполяцию этих данных известной функцией с последующим ее интегрированием. В большинстве случаев не удается подобрать одну функцию для аппроксимации на всем интервале, поэтому область интегрирования разделяется на большое количество подинтервалов, на каждом из которых используется простая функция типа линейной, квадратической или кубической. После чего результаты аппроксимации для отдельных подинтервалов складываются вместе для получения полного интеграла.

Рассмотрим три простейших метода приближенного интегрирования.

2.3. Типы формул интегрирования

Наиболее часто при численном интегрировании используются метод прямоугольников, метод трапеций, интегрирование по Ромбергу, метод Симпсона и квадратура Гаусса. Каждый из этих методов является более точным, чем предыдущий, поскольку производит аппроксимацию данных более сложной кривой.

2.4. Метод прямоугольников

Согласно методу прямоугольников, область между точками разбиения интервала интегрирования [a,b] заменяется прямоугольником, высота которого соответствует координате Y одной из точек, а ширина равна расстоянию между точками. Значение интеграла определяется по следующей формуле:

I= .(16)

Такое приближение может показаться грубым, однако при малой ширине интервала и гладкой функции результаты получаются достаточно точными. Кроме того, такой метод очень просто реализовать, поскольку достаточно просто вычисляется площадь прямоугольника – перемножается значение Y в каждой точке на ширину интервала и результаты складываются.

2.5. Метод трапеций

Согласно этому методу, каждая пара соседних точек соединяется прямой линией, образуя последовательность трапеций.

Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая в данном случае равна расстоянию между точками по оси Х. Интеграл равен сумме площадей всех трапеций.

I= .(17)

2.6. Метод Симпсона

Согласно правилу Симпсона, для аппроксимации данных используется уравнение параболы, построенной по трем точкам (правило 1/3) или по четырем точкам (правило 3/8).

(18)

I= . (19)

Пример 1.

Вычислить определенный интеграл

с помощью методов прямоугольников и трапеций с числом шагов, равным 5. Сравнить результаты вычислений двумя методами. (Истинное значение интеграла равно 3.208).

○Метод прямоугольников

Для удобства запишем значения функции в узлах в таблицу.

График подинтегральной функции выглядит следующим образом:

Значение интеграла (слева) просто равно сумме значений в узлах, т.к. шаг и равно 2.717, значение интеграла (справа) = 3.55.

Среднее значение интеграла равно (2.717+3.55)/2 = 3.1335.

Метод трапеций

Таблица значений получается, по сути дела, той же самой

И значение интеграла

●

Задание 4

Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений 1 –го порядка методом Эйлера

1. Цель работы

Изучение метода Эйлера интегрирования дифференциальных уравнений 1 – го порядка.

1. Основные теоретические положения

Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения 1-го порядка

(20)

с начальным условием

(21)

(так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят значения

y_k = y(x_k) в точках x_k = x₀ + k×h (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x₀ = a, x_n = b. Значения y_k+1 определяется по формуле

, (22)

которая получается заменой производной на ее разностный аналог.

Погрешность вычислений на каждом шаге составляет

(23)

Пример 1.

Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка методом Эйлера. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками на отрезке [0,2; 1,2] с шагом 0,1. Уравнение:

○Для численного решения заданного уравнения с начальным условием нам потребуется выполнить шагов. На каждом шаге надо вычислить значения и .

Первый шаг. (k = 0). Имеем:

. Вычислим

.

Тогда и, следовательно, по формуле (22)

.

Делаем следующий шаг.

Второй шаг. (k=1).

.

Вычислим .

Тогда и .

И так далее.

Для удобства, все вычисления удобно представить в виде таблицы

Таким образом, задача решена. ●