Распределение Максвелла
Пусть имеется N молекул, находящихся в тепловом движении. Их скорости хаотически меняют величину и направление. Мáксвелл показал, что, несмотря на хаотичность, существует строго определенное и однозначное распределение скоростей между молекулами. Отложим на оси скорости все возможные скорости молекул (рис. 9). Найдем количество молекул DN, скорости которых заключены в интервале [υ, υ + Dυ]. Очевидно, это количество DN будет пропорционально общему числу молекул N, размеру интервала скорости Dυ и функции распределения молекул по скоростям F(υ):
Условие нормировки: Одна из форм записи функции распределения Максвелла имеет вид
где υ – скорость на длине свободного пробега; m – масса одной молекулы; k – постоянная Больцмана; Т – температура. График функции F(υ) показан на рис. 10. Как и следовало ожидать, F(υ) = 0 при υ = 0 и υ = ¥, т.е. в газе нет неподвижных молекул и движущихся с бесконечно большими скоростями. Найдем наиболее вероятную скорость υВЕР, определяющую максимум кривой распределения. Для этого следует взять производную и приравнять её к нулю (постоянные множители при этом вынесутся за знак производной):
Корнями последнего уравнения будут
Первые два корня – это минимумы функции F(υ), а третий корень – максимум (наиболее вероятная скорость):
Найдем значение функции распределения в максимуме, подставив формулу (20) в уравнение (19):
Из формул (20) и (21) следует, что при увеличении температуры или уменьшении массы молекулы максимум кривой смещается вправо и становится ниже (рис. 11). Однако площадь под кривой из условия нормировки (S = 1) сохраняется. Зная функцию распределения F(υ), можно найти среднюю (арифметическую) скорость:
Так, например, для T = 300 К средние скорости молекул кислорода и водорода равны соответственно 445 м/с и 1782 м/с. Функции F(υ) можно придать другой вид, удобный при расчетах, если ввести относительную скорость: u = υ/υBEP. Тогда Если подставить получившиеся выражения для υ и dυв формулу dN/N = F(υ) d υ, то можно получить функцию распределения F(u) для относительной скорости:
У 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не более чем на 50% (рис. 12). А скорости, превышающие наиболее вероятную более чем в 5 раз, наблюдаются у одной из 12 млрд молекул.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|