Правило нахождения экстремума.
1. Продифференцировать функцию. 2. Найти точки, в которых производная обращается в 0: в этих точках возможен экстремум. 3. Выяснить знак производной в окрестности критической точки: если слева от точки производная положительна, а справа отрицательна, то функция в этой точке имеет максимум (рис. 7);если слева от точки производная функции отрицательна, а справа положительна, то функция в этой точке имеет минимум (рис. 8). Если справа и слева от точки функция имеет один и тот же знак, то функция в этой точке экстремума не имеет.
Y Y
f´(x)=0 f´(x)>0 f´(x)<0 f´(x) <0 f´(x)>0 f´(x)=0 0 X 0 X Рис. 7 Рис. 8
Правило поясняется таблицей 1(здесь х1 < х0< х2).
Пример. Исследовать на экстремум функцию y=2x3 – 3x2. Решение. Дифференцируем функцию: = 6x2 – 6x. Находим точки, в которых производная обращается в 0,т.е. находим корни уравнения 6x2 – 6x = 0, 6x ( x – 1) = 0, х1 = 0, х2 = 1. Экстремум возможен только в этих точках. Находим знак производной слева и справа от точки х1= 0: (–1) = 6·(–1) 2 – 6·(–1) = 12 > 0, ( ) = 6·( ) 2 – 6· = – < 0. В точке х1 = 0 функция y= 2x3– 3x2имеет максимум. Находим знак производной слева и справа от точки х2 = 1: ( ) = – < 0, (2) = 6·22 – 6·2 = 12 > 0. В точке x2 = 1функция имеет минимум. Т. к. в точке экстремума функция переходит от возрастания к убыванию и наоборот, то можно указать интервалы возрастания и убывания функции: на интервале (– ;0) функция возрастает, на интервале (0,1) – убывает, на интервале (1,+ ) – возрастает. Задания. Исследовать следующие функции на возрастание, убывание и точки экстремума: у ( х) = 3х2 + 5; у( х) = 1 – 7х2; у( х) = – – 2х; у(х) = ; у(х) = ; у(х) = х – ; у(х) = х ·e-x; у(х) = x + ex; у(х) = + ; у( х) = х ln x. Исследование кривых на выпуклость и перегиб. Определение 1. Функцию у = f(x) называют выпуклой на промежутке I=[a,b], если f((1 – λ)·x1 + λ·x2 ) < (1 – λ)·f(x1) + λ·f(x2) для всех λ (0,1) и всех x1 , x2 I таких, что x1 < x2 . Выпуклость функции имеет простой геометрический смысл: функция у = f(x), заданная на промежутке I, выпукла тогда и только тогда, когда всякая дуга её графика лежит над стягивающей её хордой (рис. 9). Определение 2.Функцию у = f(x) называют вогнутой на промежутке I, если функция – f(x) выпукла на I. Сравнивая с определением 1, видим, что функция у = f(x) вогнута на промежутке I тогда и только тогда, когда для всех λ (0,1) и всех x1 , x2 I таких, что x1 < x2 , выполняется неравенство f((1 – λ)·x1 + λ·x2 )> (1 – λ)· f(x1) + λ· f(x2). Вогнутость функции у = f(x) на промежутке I означает, что всякая дуга её графика лежит под хордой, стягивающей эту дугу (рис. 10). Y Y O x1 x2 X O x1 x2 X Рис. 9 Рис. 10 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|