 |
|
Линейные операции над векторами.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Оглавление.
Понятие вектора.
2. Линейные операции над векторами.
3. Понятие линейной зависимости векторов.
4. Понятие о проекциях.
5. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.
5.а. Скалярное произведение векторов.
5.б. Векторное произведение.
5.в. Смешанное произведение трех векторов.
Понятие вектора
Все величины бывают скалярные и векторные. Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая вполне определяется своим численным значением.
Примеры физических скалярных величин: 
-температура; 
- масса; 
- плотность; 
- длина; 
- площадь и т.д.
Вектором или векторной величиной называется величина, которая характеризуется не только своим численным значением, но и определенным направлением в рассматриваемом пространстве.
Векторы - сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля.
Определение 1. Направленный отрезок (или, и что то же, упорядоченная пара точек - начало и конец отрезка) называется вектором.
Геометрическое изображение вектора:
Обозначение вектора: 
, либо 
либо жирной строчной буквой 
. Направление на отрезке обозначается стрелкой.
Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной и обозначается: 
, 
.
Нулевой вектор – это вектор у которого начало и конец совпадают. Он обозначается 
и его модуль равен нулю, а направление неопределенно.
Определение 2.Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначают: 
.
Определение 3.Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Определение 4.Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.
Из этого определения следует, что мы будем изучать свободные векторы. То есть вектор параллельно самому себе, не изменяя направления, можно переносить в любую точку пространства.
Векторы являются предметом векторного исчисления подобно тому, как числа являются предметом арифметики или алгебры.
Линейные операции над векторами.
К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.
Определение 5.Под произведением вектора на число 
понимается вектор 
, удовлетворяющий следующим условиям:
1) 
;
2) вектор коллинеарен вектору ( 
);
3) векторы и направлены одинаково, если 
и противоположно, если 
.
Произведение вектора на число обозначается 
.
Замечание 1. Пусть 
, рассмотрим вектор 
, тогда 
. Векторы 
и коллинеарные и одинаково направлены, тогда -единичный вектор, сонаправленный с . Вектор - орт вектора , и обозначается 0, т.е. 
и 
или 
.
Замечание 2. Пусть дан вектор 
. Для любого коллинеарного ему вектора существует и притом одно число 
, удовлетворяющее равенству 
. Тогда 
и 
, если и одинаково направлены и 
, если они противоположно направлены.
Определение 6. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма ( 
см. рис. 1), построенного на этих векторах как на сторонах (правило параллелограмма). Правило треугольника:
начало следующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, соединяющий начало первого с концом последнего есть вектор суммы (см. рис. 2).
Чтобы сложить несколько векторов, достаточно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего, тогда замыкающий вектор, идущий из начала первого в конец последнего, будет вектором суммы (правило многоугольника см. рис. 3).
Если точка 
совпадает с точкой 
, то сумма векторов равна нулю.
Определение 7. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор 
, модуль которого равен модулю вектора , а направление противоположно (см. рис. 4).
 |
Определение 8.Под разностью двух векторов и понимается такой третий вектор 
, который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор .
Правило построения разности векторов и :
 |
Приводим векторы
и к общему началу, и соединяем концы векторов и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора ( ) в конец уменьшаемого вектора ( см. рис. 5).