Понятие о проекциях.
Пусть дан вектор
и ось
,
- угол между вектором
и положительным направлением оси
.
и
- основания перпендикуляров, опущенных из точек
и
соответственно (см. рис. 6).
Определение 15.Проекцией вектора на ось называется длина отрезка оси
, взятая со знаком плюс, если вектор
образует острый угол с направлением оси, и со знаком минус в противоположном случае.
Теорема 2.Проекция вектора
на ось
равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:
.
Следствие. При умножении вектора
на некоторое число
его проекция умножается на это же число:
.
Теорема 3 (о проекции суммы).Проекция суммы некоторого числа векторов на ось
равна сумме проекций слагаемых векторов:
,
.
Декартова система координат.
Ортонормированный базис образуют взаимно перпендикулярные векторы
,
,
единичной длины, т.е.
и
.
Точка
- начало координат
. Прямые, проходящие через начало координат в направлении векторов
,
,
, называются осями координат. Векторы
,
,
соответствуют положительному направлению осей координат:
,
,
- оси абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями
,
,
(см. рис. 7).
Определение 16. Прямоугольной системой координат называется совокупность точки (
) и ортонормированного базиса.
Определение 17. Радиус-вектором произвольной точки
по отношению к точке
, называется вектор
. Точке
можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (
) - компоненты ее радиус-вектора:
и
(см. рис. 8).
Определение 18.Компоненты радиус-вектора точки

по отношению к началу координат называют координатами точки

в рассматриваемой системе координат.
Координаты вектора совпадают с проекцией вектора на соответствующие оси координат (рис.8):
,
,
,
, 
Согласно рис. 9 имеем:
,
,
,
,
.
Пусть вектор

задан координатами крайних точек,

и

(рис. 10).
Тогда

Следовательно, чтобы определить координаты вектора по координатам крайних точек, надо из координат конца вычесть соответствующие координаты начала:
.
Определение 19. Пусть
- углы между вектором
и соответственно ортами
,
,
(рис. 9), тогда направляющие косинусывектора
определяются по правилу:
,
,
,
Следовательно, сумма квадратов направляющих косинусов равна
:
.
Пример 1. Даны точки
,
,
,
.
Найти координаты и длину вектора
.
Решение. Найдем координаты векторов
и
:
,
,
,
.
По правилам действий с векторами, получим:
и
}.
Теперь находим длину искомого вектора:
=
=
.
Пример 2. Даны точки
,
.
Найти направляющие косинусы вектора
.
Решение. Так как
, то
и направляющие косинусы находятся согласно формулам:
,
,
.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.