Здавалка
Главная | Обратная связь

Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования



Метод размерностей работает в очень широком диапазоне порядков величин, он позво­ляет оценивать размеры Вселенной и характеристики атомного ядра, проникать внутрь звезд, изучать волны на поверхности лужи и подсчитывать количество взрывчатки при строи­тельстве туннелей в горах.

По мере приобретения навыков впечатление от метода размерностей должно смениться пониманием того, что уже на самой первой ста­дии применения этого метода - при выписывании систе­мы, определяющих взаимосвязь параметров - необходимо чет­ко представлять себе саму физику явления. Метод раз­мерностей не открывает новых фундаментальных законов и, не подвергает сомнению установленные законы. Вместе с тем даже люди, не имеющие глубоких специаль­ных знаний, могут получить из соображений размернос­ти не только функциональную зависимость, но часто и чис­ленную оценку.

Этот метод сам служит одним из важных стимулов к углубленному изучению физики, создавая при удачном его применении отнюдь не обманчивое ощущение собствен­ных возможностей, он помогает быстро прикинуть, что должно получиться в ответе, проверить сам ответ, восстановить забытую формулу.

При разумном выборе параметров безразмерные комби­нации функционально связанных величин всегда оказы­ваются порядка единицы. Законы природы не зависят от масштабов, которыми мы измеряем длину, время, массу и другие физические величины. Выбираемые единицы измерений во мно­гом носят случайный характер, такой выбор связан с удобствами, привычками и историческими тради­циями.

Поэтому естественно пытаться выражать за­коны природы, т. е. уравнения, связывающие различные физические величины, в таком виде, чтобы они не зависе­ли от выбора масштабов. Так приходят к безразмер­ным соотношениям. Но когда образованы безразмер­ные соотношения из функционально связанных величин, можно потребовать, чтобы эти со­отношения были порядка единицы, поскольку другого выбора не имеется.

Существование безразмерных физических соотноше­ний есть, по существу, проявление принципа подобия – при изменении масштабов численные значения физичес­ких величин, конечно, меняются, физические же законы ме­няться не должны.

Размерные оценки базируются на преобразованиях подобия, являющихся частным случаем аффинных преобразований. Рассмотрим свойства этих преобразований.

Преобразование

f: xi' = kxi, i=1,..n (3.1)

или р(А', В')=kр(А, В)

где А и В— любые две точки пространства, А' и В' — их образы под действием преобразования f (3.1), называется преобразова­нием подобия с коэффициентом подобия k.

При k = 1, f - тождественное преобразование; при k > 1, f - растяжение, при к < 1, f - сжатие. Коэффициент подобия kудобно представить в кано­ническом виде:

к = еα (3.2)

(по сравнению с (3.1) канонический вид (3.2) обладает тем преимуществом, что при нулевом значении параметра преобразо­вания α, мы получаем тождественное преобразование, а условия преобразования имеют вид, соответственно, в условия α=0, f - тождественное преобразование,

при α > 0, f - растяжение, при α < 0, f – сжатие.

Важно подчеркнуть, что в случае преобразования подобия ко­эффициент подобия по всем направлениям один и тот же. Преоб­разование подобия изменяет размеры фигур, но не их форму. Фор­ма - инвариант преобразования подобия.

Аффинные преобразования - преобразования подобия с раз­личными коэффициентами подобия по различным направлениям.

xi=kixi - преобразования подобия. (3.3)

Преобразование подобия (3.1) - частный случай аффинных пре­образований (3.3). Переход от (3.1) к (3.3) - генерализа­ция, или обобщение, переход от (3.3) к (3.1) - специализа­ция, или переход от общего случая к частному. Аффинное преобразование - линейное - оно переводит прямые в прямые. Ни размеры, ни форма при аффинном преобразовании не сохра­няются.

Определение группы преобразований.

-Аффинные преобразования образуют группу, так как множе­ство объектов, на которые они действуют, замкнуто относи­тельно аффинных преобразований.

-Аффинные преобразования содержат тождественное преобра­зование, выполняющего роль единичного элемента группы.

-Для каждого аффинного преобразования существует обратное, унич­тожающее его действие; последовательное выполнение прямого и обратного аффинных преобразований есть тождественное преобра­зование.

-Последовательное выполнение трех аффинных преобразований А1 ° А2° А3,, ассоциативно, т.е.

1 ° А2) °А3= А1 °( А2° А3)= А1 ° А2° А3. (3.4)

Группа аффинных преобразований коммутативна, или абелева, т.е. для любых двух аффинных преобразований А1, А2 резуль­тат их последовательного выполнения не зависит от того, в каком порядке идут «множители»:

А1 ° А2= А2° А1 (3.5)

Преобразования подобия также образуют группу - подгруппу группы аффинных преобразований.

Преобразования подобия действуют не только в пространстве - на геометрические фигуры, но и на дискретные последователь­ности, а также на решения дифференциальных уравнений и на сами дифференциальные уравнения. Преобразования подобия лежат также в основе анализа размерности.

 

3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок

 

Физический критерий самоподобия (и самоаффиннантности) ди­намической системы: отсутствие в системе естественного масшта­ба (по которому можно было бы судить, подверглась ли система растяжению или сжатию).

Размерность физической величины принято выражать в опре­деленном классе систем единиц, т.е. предварительно выбрав на­бор основных единиц. Остальные величины имеют размерности, которые представимы в виде мономомов - т.е. произведений сте­пеней основных единиц: Lα Mβ Tγ Например, в механике удобно использовать класс систем еди­ниц L M T, в котором за основные единицы выбраны длина (L),масса (М) и время (Т). Частными случаями класса LMT служат системы CGS(сантиметр - грамм - секунда), техническая система (метр- тонна - час). Переход от одной системы в данном классе систем единиц к другой системе осуществляется с помощью аффинного преобразования, так как по каждой из основных единиц коэффициент преобразования «свой», отличный от коэффициентов преобразова­ния подобия по другим единицам.

Выбрав класс систем единиц, можно условиться записывать в виде векторов с компонентами из показателей α ,β, γ : Lα Mβ Tγ ↔ (α ,β, γ)

Анализ размерностей позволяет получать соотношения в тех случаях, когда вывод их представляет, казалось бы, неразреши­мую задачу.

Тщет­но было бы искать естественный масштаб длины в классической механике до тех пор пока в 1900 г. Макс Планк выдвинул гипотезу квантов, согласно которой энергия могла излучаться и поглощаться малыми, но конечными порциями - квантами: h ν,где h= 6, 626 • 10-27гсм2/с- постоянная Планка. В 1913 г. Нильс Бор соединил гипотезу Планка с планетарной моделью атома Резерфорда. Простейший атом (водорода), по Бору, представлял собой положительно заряженное массивное ядро и электрон, обращавшийся вокруг ядра по круговой орбите.

В классе систем единиц LMTхарактеристики атома водорода имели следующие величины и размерности: m = 9,109 *10-28г,

e = 4,803*10-10(г см3/с)1/2, h = 6,626*10-27г см2/с, поэтому диаметр атома водорода составлял dH =(1/2π2 )(h2/me2) = 1,058*10-8см.

Он-то и стал естественным масштабом длины, существование которого нарушило самоподобие.

В основе анализа размерностей лежит П-теорема, согласно которой безразмерная комбинация одних величин есть функция безразмерных комбинаций других величин, число которых зависит от класса систем единиц и раз­мерностей величин, участвующих в изучаемом явлении.

Если имеется зависимость размерной или безразмеpной величины a от n размерных или безразмерных параметров, инвариантная по отношению к выбору системы единиц, то при соответствующем выборе масштабов ее можно представить как зависимость между n+1-k безразмерными параметрами, где k – максимальное число величин, независимых по размерности из a, a1,…, an. Таким образом, теорема устанавливает безусловное преимущество безразмерной постановки задач.

И так, величины с разными размерностями не могут складываться. Размерность слу­жит некоторой специфичной характеристикой физической величины, позво­ляющей отличать ее от других величин. Само понятие раз­мерности вводится после того как выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. Например, в механике мы обычно при­нимаем за основные величины массу, длину и время. В сис­теме единиц СГС эти величины измеряются соответствен­но в граммах - массы, сантиметрах и секундах; в системе СИ - в килограммах - массы, метрах и секундах. Вы­ражение единиц измерения произвольной физической величины через единицы измерения основных величин на­зывается размерностью. Здесь нам будет достаточно при­нять без длинных рассуждений следующие интуитивно ясные утверждения.

1.Размерность произвольной физической величины мо­жет быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.