Главная | Обратная связь

Движение материальной точки под действием постоянной силы –размерная задача

 

Прежде всего, к такому типу движения относится при определенных условиях движение под действием силы тяжести. Сила тяжести, как и любая сила, является векторной величиной. Примем упрощающее предположение,

что ее модуль постоянен. Но так как эта сила направлена к центру Земли, то ее направление в разных точках земной поверхности различно. Однако при исследовании движений тел, перемещающихся на расстояния, которые намного меньше радиуса Земли (R ~ 6000 км), можно

пренебречь кривизной земной поверхности и с хорошей точностью считать, что сила тяжести не меняет своего направления, оставаясь перпендикулярной этой поверхности. В этих условиях сила тяжести может рассматриваться постоянной как по модулю, так и по направлению. Помимо силы тяжести, с постоянными силами приходится часто сталкиваться при рассмотрении работы различных технических устройств, когда их различные детали испытывают действие постоянных сил со стороны других деталей.

 

Какой вид имеет траектория камня? От чего зависит дальность полета? Аристотель утверждал, например, что на начальном участке траектория брошенного под углом к вертикали тела является прямой линией, и это, вроде бы, подтверждается непосредственными наблюдениями. Потребовалось почти два тысячелетия, чтобы понять, что траектория на самом деле является криволинейной на всех участках полета.

Изучение движения брошенного тела включает в себя несколько этапов, характерных для решения большинства задач механики.

Первый этап — определение типа движения.

 

Второй этап — физическая формулировка задачи: выбор системы отсчета, определение действующих сил и начальных условий.

 

любая точка поверхности движется с ускорением, обусловленным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца. Но для многих практических задач этот эффект «неинерциальности» является несущественным, и мы будем полагать, что и в нашей задаче этим эффектом можно пренебречь и считать выбранную систему отсчета инерциальной. В инерциальной системе отсчета справедлив второй закон Ньютона , где теперь под F подразумевается постоянная сила тяжести. Мы изобразили эту силу на рис. 4.2 а для некоторого произвольного момента времени после начала движения, поместив тело известной массы в некоторой произвольной точке над поверхностью. Истинное положение тела в различные моменты времени, то есть траекторию его движения, мы сможем определить только после окончательного решения задачи.

рис 4.2

Третий этап — математическая формулировка задачи: запись уравнений, соответствующих физической формулировке. Уравнение D.3) содержит в качестве неизвестных векторные величины r(t) и v(t). Поэтому оно фактически представляет собой совокупность трех уравнений для трех проекций вышеупомянутых величин.

Для проекций радиуса-вектора тела введем обозначения: r_х = х, r_у = у, r_z = z. Взяв проекции на оси координат от левой и правой частей уравнения движения, мы получаем три уравнения:

 

 

Справа от каждого из уравнений записаны начальные условия, являющиеся

неотъемлемыми элементами физической и математической формулировки задачи. Знак «минус» перед mg в последнем уравнении отражает тот факт, что сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси Oz.

Четвертый этап — математическое решение задачи. Составляющая скорости v_z имеет вид:

Константу определяем из условия

 

 

Интегрируем еще раз:

 

 

 

 

Новую константу определяем из условия z(0) = 0.

 

окончательно решение:

 

 

Найденные выражения определяют зависимость от времени всех трех проекций радиуса-вектора тела, движущегося под действием силы тяжести.

Тем самым задача о нахождении траектории движения решена.

 

достаточно выразить t через х в первом из равенств и подставить результат в выражение для z(t). Это дает уравнение траектории в плоскости zOx:

 

 

Из геометрии известно, что это соотношение представляет собой уравнение

параболической кривой, и следовательно, ни на одном из участков полета тела его траектория не является прямой линией.

дальность полета тела. При падении на поверхность z = 0, и из этого условия находим

Пятый этап — проверка полученного решения.