Здавалка
Главная | Обратная связь

Динамика твердого тела.



Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое может совершать только вращательное движение вокруг неподвижной оси. Для описания движения удобно использовать зависимость угла поворота от времени. Закон изменения угла поворота от времени и характеризует вращательное движение твердого тела.

 

В прямоугольной системе координат когда ось z совпадает с осью вращения тела представим тело как систему материальных точек и найдем проекцию на ось вращения вектора момента импульса.

 
 
z


 

По определению момент импульса системы равен сумме моментов элементарных масс

 

;

Проекция на ось вращения, аналогично

 

- момент импульса.

Используя зависимость для каждой элементарной массы

 

;

И скорости в этой точке

 

Угловая скорость по определению

 

w = df / dt

Угловое ускорение

 

e = d2f / dt2 = dw / dt

 

Записывая векторное произведение в матричной форме с учетом того, что вектор угловой скорости направлен по оси вращения z получим

 

Проекции вектора момента импульса одной из частей тела можно найти по формуле

;

Проекция этого вектора на ось вращения будет

 

;

 

Или

 

L = mwr2;

где ,

 

Lz = m R2w

 

Liz = mi R2i w

L = S Liz = ∑mi R2i w = Iw

 

I – момент инерции ( относительно оси Z )

а

;

I – момент инерции

Интегральна формула для центра инерции

 

Выражение для момента импульса можно записать в форме

 

L = Iw;

 

Момент силы для точки

 

;

Известно

 

dL / dt = S Mi

 

dw/dt = e

 

; - основное уравнение вращательного движения твердого тела

Для производной момента импульса справедливо выражение

 

L/ = M ;

 

Для проекции на ось вращения

 

Lz/ = Mz

 

Основное уравнение вращательного движения можно записать

 

If// = Mz

 

( для вращательного движения)

 

Аналогия с законом Ньютона

 

mx// = F

 

( закон Ньютона )

 

Эквивалент инерционных свойств при вращении обеспечивает момент инерции.

Запишем выражение для кинетической энергии вращательного движения при вращении тела вокруг оси, проходящей через центр масс

 

=mv2/2 = m(ωr)2/2 =mr2ω2/2 =I ω2/2

Кинетическая энергия движущегося и вращающегося относительно центра масс тела равна сумме кинетических энергий движения и вращения

 

;

 

Работа тела при вращении определяется по формуле

 

A = Mj = Fl = Frj =Mj

 

Теорема Штейнера.

В случае когда ось, относительно которой вычисляется момент инерции не совпадает с центром симметрии для облегчения расчетов используют теорему Штейнера.

Теорема Штейнера или теорема о параллельных осях. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произвеление массы тела на квадрат расстояния между осями

 

I = Ic + mrc2 – теорема Штейнера.

Построим ось z' , которая проходит через центр масс тела С параллельно оси z, и введем перпендикулярный к этим осям вектор rc, соединяющий точку вращения и центр масс. Модуль этого вектора –расстояние между осями.

Ri/ -вектор, соединяющий цент масс с частицей, для которой вычисляется момент инерции.

 

 

z z'

 

Ri Ri'

О С

rc

связь между векторами

Ri = Ri/ + rc

по определению центра масс тела имеем

S miRi = mrc

Или подставляя уравнение связи векторов

S mi ( Ri/ + rc ) = mrc

Преобразование дает

S miRi/ + S mirc = mrc

Или учитыва сумму элементарных масс тела

S miRi/ + mrc = mrc

Откуда следует

S miRi/ = 0

Момент инерции относительно выбранной оси

I = S miRi2 = S mi ( Ri/ + rc )2 = S miRi/ 2 + 2 S miRi/ rc + S mirc2 = Ic + mrc2

I = Ic + mrc2 – теорема Штейнера.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.