Главная | Обратная связь

Законы механики в неинерциальных системах отсчета.

Силы инерции

 

Рассмотрим теперь вопрос о том, как формулируются законы механики

в неинерциальных системах отсчета. Вопрос этот имеет важное практическое значение: система отсчета, связанная с поверхностью Земли, не является инерциальной — например, в системе отсчета, связанной с Солнцем, точки на поверхности Земли испытывают центростремительное ускорение, обусловленное вращением Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца.

При определенных условиях этой неинерциальностью можно пренебречь, но при решении многих практических задач (например, запуск космического корабля) без учета этой неинерциальности не обойтись. К тому же, многие машины и механизмы реально работают в неинерциальных системах отсчета — в движущихся с ускорением вагонах, самолетах, космических кораблях и так далее.

Итак, посмотрим, как преобразуется основной закон механики — второй

закон Ньютона — при переходе от инерциальной системы отсчета к неинерциальной. Остановимся отдельно на двух случаях: рассмотрим сначала простейший случай поступательного движения неинерциальной системы, а затем обсудим, как видоизменяются законы механики во вращающейся системе отсчета.

Поступательное движение неинерциальной системы отсчета. В повседневной жизни каждому из нас чуть ли не ежедневно приходится испытывать неприятные ощущения, когда при резком торможении автобуса или вагона метро какая-то сила бросает нас вперед. Чтобы понять происхождение этой силы, рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К и систему К', которая совершает поступательное движение относительно системы К с ускорением А, зависящем в общем случае от времени

(рис. 9.2). Пусть r и r' — радиусы-векторы материальной точки с массой

m в инерциальной и неинерциальной системах, соответственно, a R(t)

радиус-вектор начала отсчета системы К' относительно системы К.

 

Рис. 9.2

 

Уравнение движения материальной точки в инерциальной системе отсчета

К — второй закон Ньютона:

 

ma = F,

 

где F — результирующая сила, действующая на рассматриваемую материальную точку со стороны других тел,

 

а= d²r/dt² — ускорение материальной точки в инерциальной системе. Координаты и скорости материальной точки в системах К и К' связаны друг с другом соотношениями (9.1), (9.2).

Если тело неподвижно относительно К', то движение этой системы приводит к переносу тела относительно К. Скорость V называется переносной скоростью. Скорость относительно системы К', т. е. v' так и называется — относительная скорость. Наконец, скорость v в инерциальной системе К носит название абсолютной скорости. Надо понимать условность последнего названия: это, конечно, просто скорость относительно системы К. Но К — система инерциальная, в некоторой степени «привилегированная», и

только в этом условном смысле скорость может быть названа абсолютной.

Продифференцировав еще раз по времени обе части равенства (9.2), получаем соотношение между ускорениями

а = А + а'. (9.4)

Здесь, соответственно, а— абсолютное ускорение, А — переносное и а' —

относительное. Подставив полученное выражение для а во второй закон

Ньютона, перепишем его в виде

 

ma' = F - mA. (9.5)

 

Как мы видим, уравнение движения в неинерциальной системе отсчета (9.5) отличается от второго закона Ньютона в инерциальной системе (9.2) тем, что в правой части уравнения наряду с силой F появляется еще добавочное слагаемое -mA. Если ввести обозначение

 

-mA = F_in, (9.6)

 

то уравнение движения в неинерциальной системе примет такой же привычный вид, как и второй закон Ньютона,

ma' = F + F_in, (9.7)

где определенное равенством (9.6) добавочное слагаемое F_ин называют силой

инерции, конкретно — поступательной силой инерции. Далее мы познакомимся и с другими силами инерции.

В данном случае сила инерции является пространственно-однородной,

т. е. сила инерции при поступательном движении неинерциальной системы отсчета имеет одно и тоже значение для всех точек этой системы. Это следует из (9.6): сила инерции зависит только от ускорения, с которым начало неинерциальной системы К' движется относительно инерциальной системы К.

Итак, движение относительно рассматриваемой неинерциальной системы можно исследовать двумя способами. Можно определить закон движения материальной точки r(t) в некоторой инерциальной системе, используя второй закон Ньютона в его стандартном виде, а затем пересчитать его относительно неинерциальной системы, т. е. получить y' (t) из закона преобразования координат (9.1) (при условии, конечно, что закон движения неинерциальной системы R(t) известен). Но можно сразу решать задачу в

неинерциальной системе отсчета с помощью видоизмененного второго закона Ньютона (9.7), в котором в правой части к реальной силе F, определяемой

взаимодействием рассматриваемого тела с другими телами, добавлена сила инерции F_in, определяемая соотношением (9.6). Появление этой добавочной силы при рассмотрении движения относительно неинерциальной системы отсчета — формальное следствие преобразования координат (8.7) и не отражает появления какого-либо нового воздействия на материальную точку со стороны других тел. В этом смысле силу инерции можно назвать фиктивной силой, хотя для наблюдателя в неинерциальной системе она будет приводить к таким же последствиям, как и реальная сила той же величины.

Мы уже упоминали об ощущениях наблюдателя в неинерциальной системе (в автобусе, например), связанных с ее торможением или ускорением. Поясним еще действие рассмотренной силы инерции на следующем примере. Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик (рис. 9.3). Пока тележка покоится или движется без ускорения, нить расположена вертикально и сила тяжести Р уравновешивается натяжением нити F_H. Приведем теперь тележку в поступательное движение с ускорением А. Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил Р и F_H сообщала шарику ускорение, равное А, т. е. в инерциальной системе отсчета угол отклонения нити определяется условием, которое, как и должно быть, является следствием второго закона Ньютона. В неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сил

Р и Fн отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что кроме сил Р и F_H, равных в сумме mА, на шарик действует еще и сила инерции F_in = -mА.

Силы инерции во вращающейся системе отсчета. Рассмотрим теперь случай вращающейся неинерциальной системы и для определенности рассмотрим ситуацию,

 

Рис. 9.3

 

 

 

Рис. 9.4

когда неинерциальная система К' вращается с угловой скоростью ω вокруг оси у', совпадающей с осью у инерциальной системы К. Будем полагать также, что начала

отсчета этих систем совпадают (рис. 9.4). Наша цель — записать уравнение

движения материальной точки в неинерциальной системе К' в виде второго

закона Ньютона (9.7).

В инерциальной системе К уравнение движения имеет обычный вид

 

ma = F,

где а — ускорение рассматриваемой материальной точки в системе К. Вычитая его из уравнения (9.7) (из левой части одного — левую часть другого,

из правой части — правую), получим

F_in= -m(a-a'). (9.8)

 

Это выражение для силы инерции является обобщением выражения (9.6)

для F_in в случае прямолинейного движения неинерциальной системы отсчета. Для поступательного движения неинерциальной системы а - а' = А.

Итак, в общем случае сила инерции равна произведению массы тела на

взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета. При поступательном движении неинерциальной системы К' относительно инерциальной системы К эта разность равна переносному ускорению А, т. е. ускорению начала отсчета системы К1. Рассмотрим в качестве примера относительно простой случай.

Пусть материальная точка во вращающейся системе К' движется в плос-

плоскости х'z' по окружности радиуса R с постоянным модулем скорости v'

(рис. 9.5). В неинерциальной системе К' ускорение материальной точки а' — это центростремительное ускорение, направленное к центру вращения и равное по

модулю а' = v'²/R.

 

 

рис. 9.5

 

 

В инерциальной системе К материальная точка движется по той же самой окружности, но модуль ее скорости в этой системе определяется суммой v' + v, где v = ωR — скорость движения по окружности в инерциальной системе той точки вращающейся системы К',

в которой находится рассматриваемая материальная точка (мы рассматриваем случай, когда v и v' направлены в одну сторону).

Следовательно, в инерциальной системе К ускорение материальной точки

а— это также центростремительное ускорение, направленное к центру вращения и по модулю равное

 

(9.9)

Воспользуемся теперь определением (9.8) и найдем следующее выражение

для модуля силы инерции в рассматриваемом случае:

 

F_in = m(а - а') = mω²R + 2mv'ω. (9.10)

 

В соответствии с (9.8) направление найденной силы инерции противоположно направлению разности векторов а - а', направленных в сторону оси вращения. Поскольку, согласно (9.9), модуль а больше модуля а', то разность центростремительных ускорений а - а' направлена к оси вращения, а следовательно, F_in направлена от оси вращения. Окончательно, силу инерции (9.10) можно представить как сумму двух сил, имеющих специальные названия:

 

F_in = Fc + F_K. (9.11)

 

Здесь Fc — центробежная сила инерции

 

Fc = mω²R. (9.12)

 

В данном случае R — радиус-вектор, проведенный к материальной точке из

начала координат, потому что точка движется в плоскости х'О'z'. В общем

случае это вектор, проведенный от оси вращения к точке в плоскости траектории и его модуль R дает расстояние материальной точки от оси вращения.

Центробежная сила инерции (9.12) действует на тело во вращающейся

системе отсчета независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее. Величина и направление этой силы определяются движением системы отсчета, т. е. переносным ускорением. В этом отношении она подобна силе инерции при поступательном движении системы. Однако, центробежная сила зависит еще и от положения тела во вращающейся системе; она не обладает пространственной однородностью. Центробежную силу инерции необходимо учитывать при точном решении задач о движении тел относительно земной поверхности — ее учет приводит, в частности, к небольшим поправкам к силе тяжести (эти поправки составляют доли процента).

Сила F_K в формуле (9.11) называется силой Кориолиса, или кориолисовой

силой инерции. Для рассмотренного нами частного случая, когда направление скорости движения материальной точки перпендикулярно оси вращения, ее модуль равен 2mv'ω и она направлена вдоль R. В общем случае выражение для силы Кориолиса имеет вид

 

F_K = 2m[v' ω], (9.13)

 

где ω — вектор угловой скорости. Отличительной особенностью силы Кориолиса (9.13) является то, что она действует только на движущиеся относительно вращающейся системы отсчета тела. Она пропорциональна векторному произведению v' и ω, то есть перпендикулярна обоим этим векторам, и ее направление определяется по правилу винта.

Влияние силы Кориолиса следует учитывать, в частности, при истолковании некоторых явлений, связанных с движением тел относительно земной поверхности. Например, летящий снаряд испытывает отклонения, обусловленные кориолисовыми силами инерции. В северном полушарии при горизонтальном полете, независимо от направления, снаряд будет отклоняться вправо, а в южном полушарии — влево. По этой же причине в нашем полушарии у рек подмывается преимущественно правый берег, в южном полушарии — левый.

Итак, в инерциальной системе отсчета ускорение тела определяется «реальными» силами, действующими со стороны других тел (и полей). В неинерциальной системе для определения относительного ускорения, т. е. относительно этой системы, надо добавить силы инерции.

В общем случае система отсчета может двигаться относительно инерциальной (которую мы условно можем считать неподвижной, «абсолютной»)

поступательно и одновременно вращаться. Связь между радиусами-векторами частицы в двух системах по-прежнему определяется соотношением

r = R + r'

Скорость в абсолютной системе теперь слагается из трех составляющих.

Изменение вектора r' определяет движение относительно системы К' — это

относительная скорость. Свой вклад в абсолютную скорость дает движение системы К' относительно системы К — это скорость начала координат системы К'. Но если даже тело неподвижно в системе К' и начало координат этой системы неподвижно в системе К, тело все же будет двигаться относительно К по окружности радиуса r'. Как мы знаем, скорость в этом случае равна величине [ωr']. Таким образом, переносная скорость слагается из двух составляющих, связанных соответственно с поступательным движением системы К' и с ее вращением. В результате получаем

(9.14)

Для нахождения связи ускорений нам надо продифференцировать по времени выражение (9.14). Получаем

(9.15)

В этом случае также надо учесть наличие двух причин изменения вектора в системе К. Это надо иметь в виду при вычислении второго и третьего членов в формуле (9.14). Не забудем, что

Нетрудно видеть, что мы должны получить такое выражение:

 

 

Учитывая, что вклад в векторное произведение дает только перпендикулярная одному из векторов составляющая второго вектора, из правил преобразования двойного векторного произведения

 

[a[bc]] = b(ac) - c(ab)

 

получаем

 

 

Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно

нулю, и от последнего выражения остается одно слагаемое

 

 

Окончательно имеем

 

 

В соответствии с определением (9.8) получаем выражение для суммарной силы инерции в общем случае

 

(9.16)

Напомним еще раз, что первый член в этой формуле определяет поступательную силу инерции, второй — центробежную, четвертый — силу инерции, возникающую при неравномерном вращении неинерциальной системы (этот член редко представляет интерес). Все эти силы инерции связаны с переносным ускорением. Особняком

стоит третий член — кориолисова сила инерции, связанная и с движением (вращением) неинерциальной системы, и с движением тела в этой системе.

Одним из любопытных проявлений сил инерции является состояние невесомости. Представим себе, что кто-то стоит на весах в кабине покоящегося лифта (рис. 9.6 а).

Вес — это сила, с которой тело действует на опору, по модулю равная (в

соответствии с третьим законом Ньютона) силе, с которой опора действует

на тело. Обозначим ее N. Когда лифт покоится, сила N уравновешивает

силу тяжести, то есть N = mg. Теперь представим, что лифт свободно падает, то есть движется вниз с ускорением g (рис. 9.6 б). Для наблюдателя в лифте (в неинерциальной системе отсчета) это означает появление «дополнительной» силы инерции F_in= - mg. Эта сила направлена вверх и в точности уравновешивает силу тяжести, так что никакого взаимодействия человека с опорой весов не будет, что и означает обращение его веса в нуль.

Таким образом, возникающее в рассмотренных условиях состояние невесомости

связано с тем, что силы инерции компенсируют силу тяжести.

Аналогичная компенсация гравитационного притяжения к Земле силой инерции происходит и при рассмотрении явлений относительно космического корабля,

 

 

Рис. 9.6

вращающегося вокруг Земли. В этом случае притяжение к Земле компенсируется центробежной силой инерции (рис. 9.7). В самом деле, центробежная сила инерции, действующая на обитателя космического корабля, равна

(см. (9.12))

 

 

Рис.9.7

F_in = mω²R , (9.17)

где m — масса космонавта, ω — угловая скорость его вращения вместе с кораблем вокруг Земли и R — его радиус-вектор относительно центра Земли. Предположим, что корабль летит по круговой орбите. Это означает, что летящий вместе с кораблем космонавт испытывает в системе, связанной с Землей, центростремительное ускорение ω²R, направленное к центру Земли и связанное с силой притяжения к Земле F_g вторым законом Ньютона (если считать Землю инерциальной системой)

mω²R = Fg.

Сравнивая это равенство с (9.17), мы видим, что сила инерции равна по величине и противоположна по направлению силе притяжения космонавта к Земле. То есть в этом случае, как и в примере с лифтом, возникает состояние невесомости. Спутник свободно падает на Землю, но благодаря большой начальной скорости «никак не может на нее упасть» и в результате движется по окружности.