Главная | Обратная связь

Сохранение момента импульса.

Вследствие изотропии пространства механические свойства замкнутой системы частиц не должны изменяться при произвольном повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим не должна изменяться и функция Лагранжа(δL=0). Найдём приращение функции δL при произвольном очень малом повороте системы на угол δφ. Вместе с системой повернутся все векторы, характеризующие систему, вследствие чего эти векторы получат некоторые приращения, которые будут того же порядка, что и δφ.

δr_α=[ r_α ,δφ ], δv_α=[ v_α ,δφ ] (10.1)

Ввиду малости величин δr_α и δv_α

δL= δ δ (напомним, что L = L( , ), время t в L явно не входит.) С учётом 10.1

δL= [v_α ,δφ] (10.2)

Из векторной алгебры известно, что в смешанном произведении 3 векторов допустима циклическая перестановка сомножителей. Произведя такую перестановку, получим

δL=

Вынесем за знак суммы, одновременно заменив в соответствии с уравнениями Лагранжа 9.3 через :

v=dr/dt

δL = = ].

По предположению , поэтому условие δL=0 эквивалентно условию ]=0

или ]=const.

Согласно 9.5 Величина М=[rp] есть момент импульса частицы относительно начала координат. Следовательно, мы пришли к утверждению, что

М= = const.

В этом соотношении - момент импульса частицы с номером α, М – результирующий момент импульса системы.

Итак, исходя из изотропии пространства, мы пришли к закону: результирующий момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным.Значит, момент импульса замкнутой системы, так же как её энергия и импульс, является интегралом движения.

Пусть система частиц находится во внешнем центральном поле сил, т. е. в таком поле, в котором сила, действующая на любую из частиц имеет направление, проходящее через одну и ту же неподвижную точку О(центр поля), а модуль силы зависит только от расстояния r до этой точки. Потенциальная энергия частицы в таком поле имеет вид

U = U(r). (10.4)

Произвольный поворот системы в пространстве вокруг точки О не изменяет механических свойств системы.(расположение частиц по отношению к силовому центру О при таком повороте остаётся неизменным). Следовательно, хотя в данном случае система не является замкнутой, её момент импульса будет постоянным. Правда, это справедливо лишь для момента, взятого относительно точки О. В случае же замкнутой системы сохраняется момент импульса, взятый относительно любой точки.

Если внешнее поле обладает осевой симметрией(это значит, что потенциальная энергия частицы зависит лишь от расстояния от частицы до этой оси), то механические свойства системы не будут изменяться при повороте вокруг оси поля. Следовательно будет постоянным момент импульса системы относительно этой оси(Напомним, что моментом относительно оси называется проекция на эту ось момента взятого относительно любой из точек оси).