Главная | Обратная связь

Основные определения

Пусть конфигурация механической системы описывается обобщенными координатами (штрих означает транспонирование). Рассмотрим положение равновесия этой системы, для которого

(1)

Определение устойчивости состояния равновесия : состояние равновесия (1) устойчиво относительно обобщенных координат и скоростей, если: для любого , в том числе сколь угодно малого, найдется такое число что все решения , для которых при во все время движения будут удовлетворять условиям .

Рассмотрим различные определения, обобщающие понятие устойчивости равновесия на понятие устойчивости движения.

Н.Е. Жуковский вводил основное и возмущенное движения системы. Координаты точек в основном движении обозначал , координаты точек в возмущенном – через . В качестве независимой переменной при этом принимается не время, а координата одной из точек системы. Время является функцией этой координаты и его изменение в возмущенном движении может быть как бесконечно малым, так и неограниченно возрастающим.

Определение устойчивости движения по Жуковскому:

Если во все время движения величины остаются бесконечно малыми, то движение устойчиво (прочно), если же некоторые из этих функций беспредельно возрастают, то движение непрочно (неустойчиво).

Это определение по существу дает устойчивость траектории или орбитальную устойчивость. С помощью такого определения можно рассматривать устойчивость таких движений точки, когда все ее координаты можно выразить через одну, т.е. траектория или дифференциальные уравнения траектории точки предполагаются известными. Например, при движении точки в центральном ньютоновском поле сил можно, исключая время, получить дифференциальные уравнения траектории точки. Таким образом, определение Жуковского применимо не во всех случаях.

Рассматривая различные траектории изображaющей точки в фазовом пространстве - пространстве состояний системы, - А. Пуанкаре приходит к следующему определению устойчивости движения: «Мы скажем, что траектория подвижной точки устойчива, если, насколько бы малым ни был радиус окружности (или сферы), описанной вокруг начальной точки, подвижная точка, выйдя из этой окружности (или сферы), вновь войдет в нее бесконечное число раз . . . Траектория будет неустойчивой, если, выйдя из этой окружности (или сферы), подвижная точка уже больше в нее не вернется.» Это определение хорошо выделяет устойчивые предельные циклы - замкнутые траектории на фазовой плоскости, к которым асимптотически приближаются все возмущенные траектории вблизи них. Предельные циклы соответствуют автоколебательному режиму в системе.

Но это определение, которое сам А. Пуанкаре называл устойчивостью по Пуассону, не охватывает устойчивых неограниченных траекторий.

Определение устойчивости по Лагранжутоже выделяет только ограниченные устойчивые решения – по Лагранжу движение или решение устойчиво, если координаты и скорости всех возмущенных движений или решений ограничены.

Э. Дж. Раус, как и Н.Е. Жуковский, пользовался понятиями об основном и возмущенном движениях : - координаты в основном движении, - в возмущенном. Независимая переменная - вре­мя t . Возмущения рассматриваются как малые, если существует положительное число, превышающее абсолютные значения всех , и такое, что его квадратом можно пренебречь. Движение называется устойчивым, если возмущения , бывшие малыми в начальный момент времени, остаются малыми и при дальнейшем движении. Если хотя бы одна из величин становится не малой, движение называется неустойчивым. При этом речь идет о возмущениях общего вида. Следовательно, движение будет неустойчивым, если хотя бы для одной группы начальных возмущений можно доказать, что в дальнейшем движении эти возмущения не остаются малыми.

Недостатком всех этих определений является нечеткость понятия о малости возмущений.