 |
|
Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций
Поверхности уровня 
знакоопределенной функции по крайней мере для достаточно малых С замкнуты. Действительно, рассмотрим такую поверхность. Для определенности предположим, что 
положительно-определенная функция (С - положительное число). При С=0 будем иметь 
, откуда 
, т.е. поверхность 
вырождается в точку. Пусть l – точный нижний предел функции на границе области (13). Очевидно l >0. Если рассмотрим произвольную непрерывную кривую, выходящую из начала координат к границе области (13) и проследим за изменением функции вдоль этой кривой, то получим, что в начале кривой 
, а в конце 
. Следовательно , в некоторой точке этой кривой необходимо принимает значение С , если только С<l , так как предполагается, что функция Ляпунова непрерывна и определена во всех точках области (13). Значит, поверхности для С<l будут замкнуты и окружают начало координат.
Если взять поверхности 
, 
, ... , 
, причем 
, то поверхности расположатся следующим образом.
|
|
Производной по времени от функции Ляпунова в силу уравнений возмущенного движения (12) называется выражение
(14)
Такая производная характеризует изменение функции V вдоль траектории уравнений возмущенного движения.
В основе исследования устойчивости методом функций Ляпунова лежат следующие теоремы [5, 6, 7].
I. Теорема Ляпунова об устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию 
, производная которой 
в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного с 
знака, то невозмущенное движение устойчиво.
Замечание. Если в качестве функции Ляпунова взять полную энергию системы, то из этой теоремы легко установить справедливость теоремы Лагранжаоб устойчивости равновесия: положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если для него потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум.
II. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного с знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.
III. 
Теорема Барбашина - Красовского об асимптотической устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию такую, что ее производная в силу этих уравнений удовлетворяет в области (13) условию: 
знакоотрицательна, причем многообразие К точек, для которых 
, не содержит целых траекторий системы, кроме начала координат при 
, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
 |
Замечание об устойчивости регулируемых систем. Во многих технических задачах важно, чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым и чтобы эта устойчивость имела место при любых начальных возмущениях (асимптотически устойчиво в целом). При этом дело сведется к построению функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям следующих теорем Барбашина - Красовского об устойчивости в целом.
Теорема 1. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти определенно-положительную функцию Ляпунова, полная производная по времени которой, составленная в силу этих уравнений, есть при всех функция определенно-отрицательная и если при этом 
, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.
Теорема 2. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти такую определенно-положительную функцию, что она удовлетворяет условию и производная которой в силу этих уравнений, знакоотрицательна, причем многообразие точек, для которых 
, не содержит целых траекторий системы, кроме начала координат при , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.