 |
|
Контрольные задания
Найти стационарные движения и составить уравнения возмущенного движения для исследования их устойчивости.
Задача 1. Конический маятник (в переменных Лагранжа) [6]:
Постановка задачи: Рассмотрим материальную точку М массы m , подвешенную на невесомой нити OM в точке О (сферический маятник). Пусть длина нити равна l. Положение точки М будем определять углами 
, смысл которых очевиден из рисунка.
Ось 
вертикальна, ось 
параллельна неподвижной горизонтальной оси Ох , прямая 
перпендикулярна оси 
. Для каждого угла 
существует такая постоянная скорость 
, что маятник совершает стационарное движение по горизонтальной окружности
Требуется:
1. Составить уравнения движения в форме уравнений Лагранжа 2-го рода
.
2.Найти условие, при котором возможны стационарные движения по окружности (или относительные равновесия).
3.Вводя возмущения
,
из уравнений Лагранжа для заданного 
получить уравнения возмущенного движения;
4. Выделить в уравнениях возмущенного движения линейные по 
члены.
Задача 2. Конический маятник (в переменных Рауса).
Постановка задачи: В коническом маятнике 
– циклическая координата , так как от нее не зависят ни кинетическая, ни потенциальная энергия, и непотенциальные обобщенные силы отсутствуют. Один из удобных способов описания динамики таких систем – применение переменных Рауса.
Требуется:
1. Ввести функцию Рауса 
, где 
– функция Лагранжа 
, в которой циклическая скорость 
заменена ее выражением из уравнения 
(это же выражение подставляется и в произведение 
).
2. Составить уравнения Рауса
3. Найти условия существования стационарного движения
в переменных Рауса.
4. Вводя возмущения
получить из уравнений Рауса уравнения возмущенного движения для заданного угла . Выделить в этих уравнениях линейные члены.
Указание: значение угла для конкретного варианта индивидуального задания определяется выражением 
, где N – порядковый номер студента в списке группы.