 |
|
Числові характеристики випадкових величин
Та їх властивост
Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так i для неперервних випадкових величин дає повну iнформацiю про них. Проте на практиці нeмaє потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх icтотні ознаки. Ці параметри i називають числовими характеристиками випадкових величин. Числові характеристики поділяють на два типи: точкові та інтервальні.
Найчастіше на практиці використовують точкову характеристику, яку називають математичним сподіванням.
Tepмін «математичне сподiвання» випадкової величини Х є синонімом терміну «cepeднє значення» випадкової величини Х.
Математичним сподіванням називається величина
для ДВВ -
, (12)
для НВВ -
. (13)
Якщо неперервна випадкова величина Х визначена лише на проміжку 
, то
. (14)
Модою (Мо) дискретної випадкової величини Хназивають те її можливе значення, якому вiдповiдає найбiльша ймовiрнiсть появи.
Модою для неперервної випадкової величини Хназивають те її можливе значення, якому вiдповiдає максимальне значення щiльностi ймовiрностi:
(15)
Якщо випадкова величина має однумоду, то такий розподiл ймовірностей називають одномодальнuм;якщорозподiл має двi моди – двомодальним i т. iн. Іcнують i такі розподiли, якi не мають моди. Їх називають антимодальними.
Медiаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконується piвність ймовiрностей подiй 
та 
:
,
або
,
тоді за формулою (4) маємо
,
за формулами (5-6) одержимо
,
,
отже
. (16)
Отже, рівняння (16) є рівнянням для визначення медіани.
Враховуючи зв’язок 
і 
наведемо ще одне рівняння для визначення медіани
. (17)
Математичне сподівання називають центром тяжіння, центром розподілу або центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання використовують інтервальну числову характеристику, яку називають дисперсією.
Для визначення дисперсії використовують центровану випадкову величину – відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання 
. Зазначимо, що математичне сподівання такого відхилення дорівнює нулю:
.
Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від свого математичного сподівання:
(18)
Використання властивостей математичного сподівання дозволяє це співвідношення записати у вигляді:
. (19)
Це дозволяє дати визначення дисперсії наступним чином: дисперсія випадкової величини − це є різниця між математичним сподіванням квадрата випадкової величини та квадратом математичного сподівання.
Для ДВВ дисперсію можна визначити за формулами:
(20)
або
. (21)
Для НВВ:
(22)
або
. (23)
Слiд пам'ятати, що дисперсiя не може бути вiд'ємною величиною 
.
Отже, дисперсiя характеризує квадрат розсiювання випадкової величини вiдносно свого математичного сподiвання. Тому доцiльно мати числову характеристику такої вимiрності, як i сама випадкова величина. Такою числовою характеристикою є сepeднє квадратичне відхилення.
Середнім квадратичним вiдхиленнямвипадкової величини Х називають кopiнь квадратний iз дисперciї:
. (24)