Главная | Обратная связь

Завдання 5. Біноміальний закон розподілу

 

Приклад 9. Прилад складається з трьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що елемент не працює в довільний момент часу, дорівнює 0,1. Дискретна випадкова величина Х – число елементів, що не працюють у довільний момент часу, розподілена за біноміальним законом розподілу. Необхідно:

1. Знайти ряд розподілу Х.

2. Побудувати многокутник ймовірностей.

3. Знайти , , .

4. Знайти найімовірніше значення величини Х.

5. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в задані інтервали , , .

Розв'язання: Зробимо аналіз задачі та визначимо, які конкретні значення може набути ДВВ Х. Середтрьох незалежно працюючих елементів число елементів, що не працюють у довільний момент часу, може дорівнювати 0 (всі елементи працюють), 1 (не працює один елемент), 2 (не працює два елементи) або 3 (всі елементи не працюють).

У табличній формі закон розподілу цієї дискретної випадкової величини можна записати:

Обчислимо ймовiрностi , застосовуючи формулу Бернуллі. Враховуючи, що за умовою задачі , (значить, ), маємо:

,

,

,

.

Занесемо одержані значення в таблицю та перевіримо обчислення за властивістю ряду розподілу:

 

	0,729	0,243	0,027	0,001

 

.

Будуємо многокутник розподілу (рисунок 15):

 

Рисунок 15

 

Обчислюємо числові характеристики:

,

,

.

Знайдемо найімовірніше значення величини Х із нерівності:

.

Тоді

,

.

Значить, найімовірнішим значенням величини Х є нуль і .

Обчислимо ймовірності попадання випадкової величини в задані інтервали , , .

=0,

= ,

.

ЗАДАЧІ

Дискретна випадкова величина Х розподілена за біноміальним законом розподілу. Необхідно:

6. Знайти ряд розподілу Х.

7. Побудувати многокутник ймовірностей.

8. Знайти , , .

9. Знайти найімовірніше значення величини Х.

10. Обчислити ймовірність попадання випадкової величини в задані інтервали , , .

 

3.1. Робітник виготовляє однотипні деталі. Відомо, що при виготовленні однієї деталі ймовірність допустити брак дорівнює 0,1. Навмання беруть 10 деталей. ДВВ Х – число стандартних деталей серед десяти взятих навмання.

3.2. Маємо партію дисків. Ймовірність того, що навмання взятий диск виявиться бракованим, дорівнює 0,01. Навмання беруть 10 дисків. ДВВ Х – кількість дисків, що пройшли контроль.

3.3. В комп’ютерному залі 15 ПК. Ймовірність виходу комп’ютерної мишки з ладу за рік роботи 0,3. ДВВ Х – кількість комп’ютерних мишок, що вийшли з ладу за рік.

3.4.В урні міститься 6 чорних та 4 білих кулі. Кулі виймаються навмання по одній з повертанням. Провели дев’ять виймань. ДВВ Х – кількість чорних куль серед дев’яти вилучених навмання.

3.5. В ящику містяться 12 деталей 1-го сорту, 3 деталі 2-го сорту, 4 деталі браковані. Деталі вилучають по одній з повертанням. Провели десять вилучень. ДВВ Х – число придатних деталей при десяти вилученнях.

3.6. На склад магазину надійшли нові вироби, 80% яких вищого ґатунку. Навмання беруть вісім виробів. ДВВ Х – кількість виробів вищого ґатунку серед восьми взятих навмання.

3.7. Контролер перевіряє вироби на стандартність. Ймовірність того, що стандартний виріб контролером буде виявлений придатним, постійна і дорівнює 0,9. Контролером було перевірено десять виробів. ДВВ Х – число стандартних виробів, виявлених придатними.

3.8. Ймовірність того, що покупець, який зайшов до магазину, щось купить, дорівнює 0,1. Магазин відвідали дев’ять покупців. ДВВ Х – кількість покупців, що зробили купівлю.

3.9.Прилад складається з десяти незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що елемент працює в довільний момент часу, дорівнює 0,9. ДВВ Х – число елементів, працюючих у довільний момент часу.

3.10. Маємо вісім однакових ящиків. В кожному з них знаходиться по 9 стандартних і одній бракованій деталі. З кожного ящика беруть по одній деталі. ДВВ Х – кількість стандартних деталей серед восьми вилучених.

3.11. Гральний кубик кидається 10 разів. ДВВ Х − число разів появи грані з цифрою шість.

3.12.Монета кидається 11 разів. ДВВ Х – число разів випадання цифри.

3.13. Працівник обчислювального залу перевіряє дискети на наявність вірусів. Ймовірність наявності вірусу на дискеті 0,05. Перевіряється 10 дискет. ДВВ Х – кількість заражених вірусом дискет.

3.14. В коробці лежать 5 червоних та 8 білих куль. Кулі виймаються навмання по одній з повертанням. ДВВ Х – кількість білих куль серед 9 витягнутих.

3.15. Ймовірність того, що покупець, який зайшов у супермаркет, зробить покупки, дорівнює 0,3. ДВВ Х – число покупців, що зробили покупку серед 10 навмання взятих.

3.16. В комп’ютерному залі 12 ПК. Ймовірність виходу ПК з ладу при зміні напруги дорівнює 0,03. ДВВ Х – кількість ПК, які вийшли з ладу в результаті зміни напруги.

3.17.В ящику міститься 3 диски CD-RW та 7 дисків CD-R. Диски витягуються по одному з поверненням. ДВВ Х – кількість дисків CD-R серед 10 витягнутих.

3.18. Кожен з програмістів допускає помилку при складанні програми з ймовірністю 0,1. ДВВ Х – кількість програмістів, що допустили помилку серед 12 взятих навмання.

3.19. Ймовірність успішного виконання вправи спортсменом 0,6. ДВВ Х – кількість спортсменів, що успішно виконали вправи серед 9 навмання взятих.

3.20. Ймовірність успішного завантаження WEB-документа в бізнес-час дорівнює 0,15. ДВВ Х – кількість WEB-документів успішно завантажених на 10 ПК.

3.21. Студент вивчив 20 білетів із 30. Білети вилучаються по одному з повертанням. Зроблено 12 спроб. ДВВ Х – кількість вивчених білетів серед 12 взятих.

3.22.При підготовці текстового документа на ПК користувач допускає помилку на сторінці А4 з ймовірністю 0,25. Підготовлено 10 сторінок. ДВВ Х – кількість сторінок без помилок.

3.23. В коробці знаходиться 5 дискет виробництва Sony та 7 дискет виробництва TDK. Дискети виймаються по одній з повертанням. ДВВ Х – кількість дискет виробництва Sony серед 10 витягнутих навмання.

3.24. В ящику міститься 7 стандартних і 3 браковані деталі. Деталі вилучають по одній з повертанням. Виконали десять вилучень. ДВВ Х – кількість стандартних деталей серед десяти вилучених навмання.

3.25. Гральний кубик кидається 8 раз. ДВВ Х − число разів появи грані з цифрою чотири.