Главная | Обратная связь

Мультипликативный критерий

Аддитивный критерий основан на использования принципа справедливой компенсации значений нормированных частных критериев. Но в ряде задач проектирования более целесообразным является оперирование не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частных критериев.

Принцип справедливой относительной компенсации формулируется следующим образом: справедливым следует считать такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критерий не превышает суммарного уровня относительного увеличения других критериев.

В математической формулировке условие оптимальности на основе принципа справедливой относительной компенсации имеет вид

(3)

где ΔF_i(X) – приращение величины i – го критерия, F_i(X) – первоначальная величина i – го критерия.

Полагая , можно представить (3) как дифференциал натурального логарифма

(4)

Из выражения (4) следует, что принцип относительной компенсации приводит к мультипликативному обобщённому критерию оптимальности

(5)

Мультипликативный критерий образуется путём простого перемножения частных критериев в том случае, когда они имеют одинаковую важность. В случае неравноценности частных критериев вводятся весовые коэффициенты l_i и мультипликативный критерий примет вид

(6)

Мультипликативный критерий иногда представляется в виде отношения произведений частных критериев (выходных параметров)

m₁+m₂=m; (7)

где в числителе перемножаются все выходные параметры, требующие максимизации и имеющие ограничения а в знаменателе – все выходные параметры, требующие минимизации и имеющие ограничения , где TT_i – значение технического требования, предъявленного к i– му критерию. Целевая функция (7) в дальнейшем подвергается максимизации.

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормирование частных критериев. Недостатки критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счёт неравнозначных первоначальных значений частных критериев.

Примеры 1. Производственная функция, отражающая овеществлённый технический прогресс (модель Р. Солоу):

где Y_t – выпуск продукции; L – численность рабочих; K – объём основных производственных фондов. Здесь величины a и 1-a следует рассматривать как весовые коэффициенты.

Пример 2. Обнаружение сигналов в "белом" шуме. На вход RC – фильтра с импульсной характеристикой поступает аддитивная смесь: прямоугольный импульс s(t) плюс "белый" шум n(t). Требуется найти такое значение g, чтобы отношение сигнал/шум было максимальным, т.е. мы желаем, чтобы значение сигнала было максимальным, а уровень шума – минимальным (g – полоса пропускания RC – фильтра).

 

 

Рис.3. Сигнал s(t) Рис 4.Шум n(t)

 

Рис. 5.Сигнал плюс шум Рис.6. Отфильтрованный сигнал

Рис. 7.Система обнаружения сигнала

 

F₁(g)=A(1-e^-gT) ® max (уровень сигнала на выходе фильтра),

F₂(g)= ® min (уровень шума на выходе фильтра).

где A,N,T - константы; F₁ и F₂ - имеют одинаковую размерность. Найти оптимальную полосу пропускания g, если справедлив принцип относительной компенсации частных критериев. Согласно формуле (7) мультипликативный критерий будем иметь вид:

Пример. Применим мультипликативный критерий оптимальности для определения оптимальных параметров для автомата. Мы получили следующую задачу оптимизации:

найти максимум функции

при ограничении 1.6L+ 0.05N+2≤6.

Для определения максимального значения f(L,N) с учётом ограничения равенства мы будем использовать метод неопределённых множителей Лагранжа. Получим следующую задачу безусловной оптимизации:

найти максимум функции

Находим частные производные по L, N, l и приравниваем их к нулю. Получим систему уравнений:

Решая эту систему, получим следующие значения: N_opt=53, L_opt=0.83 м, V_opt=137 м/cек.

Использование мультипликативного критерия в задаче оптимизации привело другим значениям параметров автомата по сравнению с решением задачи с аддитивным критерием оптимальности. Это объясняется тем, что диапазоны взаимной компенсации абсолютных и относительных изменений частных критериев неодинаковы. Поэтому в каждом конкретном случае технического проектирования следует тщательно анализировать и обосновывать целесообразность учёта либо абсолютных, либо относительных изменений значений частных критериев и в зависимости от степени важности этих отклонений выбирать либо аддитивный, либо мультипликативный критерий оптимальности.

Заключение. Преимущества и недостатки формальных обобщённых критериев.

Преимущества – возможность учёта в качестве f_i(X) любых выходных параметров системы, а также надёжность и стоимость.

Основные недостатки – возможность компенсации ухудшения целевой функции из-за ухудшения одного параметра за счёт улучшения какого-либо другого выходного параметра.

Метод "идеальной" точки Метод "идеальной" точки. Рассматривается m-мерное пространство (где m число локальных критериев), в котором априори выбирается вектор, отображающий "идеальное" решение (или, что тоже самое, "идеальная" точка, координатами которой являются "идеальные" значения (например, минимальные или максимальные значения) локальных критериев). В этом пространстве вводится некоторая метрика, с целью вычисления расстояния между вектором, отображающим рассматриваемое решения, и "идеальным". В качестве наилучшего выбирается такое решение, векторная оценка которого наиболее близка к "идеальной" точке. Недостатками метода являются произвол при выборе идеальной точки и введение метрики. Определим обобщенный критерий следующим образом. Положим a_i=maxF_i(X); , т.е. a_i является максимально (минимально) возможным значением по i – му критерию. Положим a=(a₁, a₂, . . ., a_m). Точка a называется идеальной. Смысл названия связан с тем, что такие точки оптимальны сразу по всем критериям – получить большее (меньшее) значение ни по одному критерию невозможно. Как правило, точка aÎY_D. Зададим для всех точек YÎY_D функцию, являющуюся евклидовым расстоянием между точками Y и a . За целевую функцию (обобщённый критерий) берут выражение где li – весовые коэффициенты. Таким образом, задача оптимизации формулируется следующим образом min XÎD С учётом нормировки min (8) XÎD Замечание. Здесь принцип оптимальности выражается функцией выбора определяемой близостью к идеальной точке. Замечание. В качестве идеальной точки берут директивные значения параметров, заданные заказчиком, т.е. в ТЗ (техническом задании). Какие задачи оптимального проектирования приводят к использованию метода идеальной точки? Например, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств, т.е. F_i(X)=TT_i, где TT_i – значение технического требования, предъявленные к i - критерию. Тогда целевая функция имеет вид:

Пример. Пусть имеются частные критерии F₁(X)=-3x₁+2x₂; F₂(X)=4x₁+3x₂; F₃(X)=2x₁-5x₂, которые требуется максимизировать. Область D задаётся неравенствами –x₁-3x₂+18³0; -2x₁-x₂+10³0; x₁³0; x₂³0. Линейная функция F₁(X) достигает максимального значения a₁=12 в точке X₁=(0, 6); F₂(X) - максимальное значение a₂=24 в точке X₂=(3, 4); F₃(X) - максимальное значение a₃=10 в точке X₃ =(5, 0). По методу идеальной точки составим функцию f(X)=[12-(-3x₁+2x₂)]²+[24-(4x₁+3x₂)]²+[10-(2x₁-5x₂)]². После преобразований получим f(x₁, x₂)= .

Таким образом, задача оптимизации будет такая

min f(x₁, x₂)

g₁(X)= –x₁-3x₂+18³0

g₂(X)= -2x₁-x₂+10³0

g₃(X)=x₁≥0; g₄(X)=x₂≥0

Построим область D.

 

y=6-2/3x

ОбластьD

Xopt

y=10-2x

 

Рис. 8. Область D

Найдем максимум функции, не учитывая ограничений. Если полученное значение будет лежать в области D, то оно и будет решением нашей задачи.

Находим частные производные по x₁ и x₂ функции f(x₁, x₂) и приравняем их к нулю. Получим следующую систему линейных уравнений

29x₁-4x₂=80

-4x₁+38x₂=46.

Решение этой системы: x₁=2.97; x₂=1.52. Эта точка находится внутри области D. Следовательно, минимум функции достигается в точке с координатами x_1opt=2.97; x_2opt=1.52.

В найденной точке X_opt, являющейся решением рассматриваемой многокритериальной задачи линейного программирования, F₁(X_opt)=-5.87; F₂(X_opt)=16.44; F₃(X_opt)=-1.66.

Следовательно, x_1opt=2.97; x_2opt=1.52.