Главная | Обратная связь

Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx =M(x - Mx )².

Легко показать, что Dx = M(x - Mx )²= Mx ² - M(x )².

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx ² >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

, .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение ,связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx 0;

• дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

• для произвольной константы D(cx ) = c²D(x );

• дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

 

Моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a _k = Mx ^k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m _k, определяемая формулой m _k = M(x - Mx )^k.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a ₁= Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a ₂ = Mx ² = M(x - Mx )² =Dx .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m ₂=a ₂-a ₁², m ₃ = a ₃ - 3a _{2a 1} + 2a ₁³.

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

 

Асимметрия

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,

где m ₃ - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

 

Эксцесс

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p_x (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика p_x (x) меньше, чем у нормального распределения.