 |
|
Привязка точек местности
13.1. Способ прямой угловой засечки
Прямая угловая засечка
Положение точки М теодолитного хода определяют из решения тре-угольников АВМ и ВСМ по результатам измерения горизонтальных углов β1, β2, β3 и β4 при исходных направлениях АВ и ВС (рис. 67 а). Горизонтальный угол β5 , измеренный в вершине М между направлениями ВМи МN, используют для передачи дирекционного угла с направления ВМ на линию теодолитного хода MN.
| 
|
Рис. 67. Прямая угловая засечка.
а) схема 1; б) схема 2
Координаты точки М удобно вычислять по формулам Юнга:
(86)
(87)
Для контроля аналогичные вычисления выполняют из решения второго треугольника. Точность определения прямоугольных координат не должна быть меньше установленной инструкцией.
Для передачи дирекционного угла на линию MN вычисляют из решения обратной геодезической задачи дирекционный угол направления BM (αBM), а затем получают дирекционный угол αMN по формуле
αMN = αВM + 180о - β5 (88)
На схеме привязки горизонтальный угол β5 является правым по ходу ВMN, поэтому в формуле (88) перед ним стоит знак минус.
Часто прямую угловую засечку выполняют сразу для точек М и N. Тогда координаты точки N определяют так же, как и координаты точки М, а значение горизонтального угла β5 используют как контрольное. Аналогичный угол целесообразно измерить и в точке N.
Оценка точности определения координат пункта M относительно исходных пунктов А, В и С выполняется по следующим формулам:
, (89)
, (90)
, (91)
где mM(1) и mM(2) – соответственно средние квадратические погрешности определения положения точки М из первого и второго треугольников; mβ – средняя квадратическая погрешность измерения горизонтального угла (сек); ρ" = 206265" – число секунд в радиане; S – расстояния (горизонтальные проложения) между исходными пунктами и определяемой точкой, вычисляемые по теореме синусов в соответствующем треугольнике.
При проектировании рассмотренной схемы привязки следует стремиться к тому, чтобы горизонтальные углы γ при определяемой точке были не меньше 30о и не больше 150о. Большая точность достигается при углах γ в пределах 109о – 110о при примерно равных расстояниях до нее от исходных пунктов.
Пример.Привязка способом прямой угловой засечки.
Исходные данные (схема рис. 67 а):
ХА = 3946,547 м ХВ = 3763,211 м ХС = 4015,338 м
YA = 4105,854 м YВ = 4568,642 м YС = 4905,039 м
β1 = 63018'10"; β2 = 59044'58"; β3 = 61047'20"; β4 = 70003'50"; β5 = 86055'45".
Решение.
Из треугольника АВМ (1):
Аналогичные вычисления выполняем в треугольнике ВСМ (2):
ХМ(2) = 4287,7594 м ; YM(2) = 4488,9353 м.
В результате получены невязки в координатах:
fX = XM(1) – XM(2) = 0,0054 м; fY = YM(1) – YM(2) =0,0074 м; fАБС = 0,00916 м.
Значение fАБС является критерием качества решения задачи привязки.
При допустимом значении абсолютной невязки вычисляют среднее значение координат точки М: ХМ = 4287,762 м ; YM = 4488,939 м.
Выполним оценку точности засечки по формулам (90) – (91), приняв mβ = 2,0".
Из решения обратной геодезической задачи с точностью до 1 м вычислим значения
S 1 ≈ 513 м, S2 ≈ 531 м, S3 ≈ 497 м.
Значения sin для оценки точности округлим до 0,50.
.
.
Средняя погрешность засечки 
.
Здесь следует сделать некоторые замечания.
Вычислим дирекционный угол направления MN.
Из решения обратной геодезической задачи по координатам точек В и М вычислим значение дирекционного угла направления ВМ:
Часто видимость между пунктами А – В и В – С может отсутствовать. В этом случае возможно использование другой схемы прямой угловой засечки (рис. 67 б), решение которой выполняется по формулам Гаусса (тангенсов или котангенсов).
Формулы тангенсов:
, (92)
(93)
Формулы котангенсов:
, (94)
(95)
Для контроля выполняют аналогичную привязку с точек В и С.
Значения дирекционных углов в приведенных формулах получают в результате решения азимутальной привязки от соответствующих исходных направлений:
αАМ = αАD ± β1 , (96)
αBМ = αBE ± β2 , (97)
αCМ = αCF ± β3 (98)
Знак «плюс» - для левых по ходу углов, знак «минус» - для правых по ходу углов. На схеме рис. 61 б горизонтальные углы – левые по ходу.
При использовании для вычислений микрокалькуляторов формулы тангенсов не следует применять, если дирекционные углы близки к 90о ± 5о или 270о ± 5о, а формулы котангенсов – если дирекционные углы близки к 0о ± 5о или 180о ± 5о. Это обязательно следует проверить и, при возможности, перейти к другим построениям. В любом случае использование приведенной схемы привязки необходимо начинать с вычисления (или с оценки) величин дирекционных углов.
13.2. Способ обратной угловой засечки
Привязка способом обратной угловой засечки может быть выполнена по трем исходным геодезическим пунктам, если определяемая точка не лежит на окружности, описанной по ним. Оптимально, когда определяемая точка находится внутри треугольника (рис. 68 а).
При удалении точки М от опасной окружности на 10% ее радиуса уже обеспечивает решение задачи определения координат искомой точки. Для графической оценки положения точки М составляют схему привязки и контролируют выполнение условия 
.
Следует иметь ввиду, что в данном случае не обеспечивается надежный контроль привязки, поэтому целесообразно использовать для решения указанной задачи четыре исходных пункта, т.е. в определяемой точке необходимо еще измерить угол β3 на исходный пункт D.
Координаты точки М находят по формулам С.Г.Морозкова:
, (99)
, (100)
где 
;
;
; 
.
;
| 
|
Рис. 68. Обратная угловая засечка.
Схема обратной угловой засечки (а). Построение инверсионных треугольников (б)
При наличии четвертого пункта (D) координаты точки М могут быть получены дважды: при использовании пунктов D, A и B и при использовании пунктов А, В и С. При этом может оказаться, что точность определения координат будет различной, в связи с чем целесообразно установить, относительно каких пунктов следует определять координаты точки М, а какой из пунктов будет контрольным. Указанная задача решается методом инверсионных треугольников.
Построение инверсионных треугольников выполняется на графической схеме привязки, построенной в произвольном масштабе длин, но с таким расчетом, чтобы отрезки S были не менее 6 – 7 см. На этих отрезках откладывают в принятом масштабе значения параметров qi (градиентов):
. (101)
Получают соответствующие инверсионные треугольники: 123 – для пунктов D, A и B и 234 – для пунктов А, В и С (рис. 68 б). Из точек 1, 2, 3 и 4 опускают высоты hi на соответствующие стороны и графически, в масштабе q, получают их значения.
Графическая оценка точности выполняется по формулам:
; 
, (102)
где М – средняя квадратическая погрешность определения координат точки М; mβ – средняя квадратическая погрешность измерения углов.
По минимальной величине М выбирают исходные пункты для вычисления координат по формулам (99) и (100).
Иногда координаты определяют два раза, по двум группам из трех исходных пунктов, а оценку погрешности выполняют по средней ее величине, как это делалось в предыдущих способах.
Контроль вычислений по четвертому исходному пункту выполняют сравнением измеренного горизонтального угла (или углов, если пунктов более четырех) с вычисленным его значением. Например, если контрольное направление выбрано на пункт D, то сравнивают
(103)
с тем же горизонтальным углом, измеренным в поле. Разница в полученных углах является критерием качества привязки. Для теодолитных ходов указанная разница не должна превышать 1'.
Передача дирекционного угла на определяемую линию MN выполняется с учетом значения горизонтального угла β4 (правого или левого по ходу).
Аналитическая оценка точности определения координат точки М (линейная погрешность mM) может быть получена по формуле
, (104)
где 
при использовании пунктов А, В и С; S и L определяют из решения обратной геодезической задачи.
Пример. Привязка по способу обратной угловой засечки.
Исходные данные (схема рис. 68):
XA = 5535,793 м ; ХВ = 5633,352 м ; ХС = 2490,280 м ; ХD = 2385,336 м
YА = 3733,771 м ; YВ = 7984,056 м ; YС = 8879,172 м ; YD = 3694,242 м
β1 = 84о41'48" ; β2 = 81о13'25" ; β3 = 138о50'16" ; β4 = 32о36'18"
Решение.
По схеме, построенной в произвольном масштабе, но с соблюдением ее геометрии по горизонтальным углам, получим длины отрезков S в мм и в метрах: S1 = 72,5 мм (3625 м); S2 = 54,0 мм (2700 м); S3 = 51,3 мм (2565 м); S4 = 59,2 мм (2960 м).
По формуле (101) вычислим значения градиентов (q1 = 56,9; q2 = 76,4; q3 = 80,4; q4 = 69,7) и построим их величины на схеме по соответствующим сторонам в условно выбранном масштабе. Получатся точки 1, 2, 3 и 4. В результате образованы два инверсионных треугольника 123 и 234.
Построим в инверсионных треугольниках высоты hi и графически в масштабе q измерим их значения: h1 = 91,0; h2 = 90,0; h3 = 97,0; h4 = 132,0.
Принимая mβ = 2,0" (здесь необходимо учитывать фактическую точность измерения углов), по формулам (102) вычислим значения средних квадратических погрешностей: М1 = 0,030 м; М2 = 0,027 м.
Поскольку М2 меньше М1, то целесообразно для вычисления координат точки М использовать второй инверсионный треугольник (234), т.е. использовать для вычислений координат исходные точки В, С и D.
Далее решаем задачу по формулам С.Г.Морозкова (99) и (100) для установленных исходных пунктов:
= + 3004,8784 ;
= - 1380,3631 ;
= - 6035,5272 ;
= - 5064,8938 ;
= - 2,453611348 ;
3400,759 м,
= 3400,759 м ,
= 6645,210 м .
Контроль привязки выполняем по направлению на четвертый исходный пункт А.
Из решения обратной геодезической задачи найдем дирекционные углы направлений MА и МВ: 
; 
. Проверяем разность
: 
.
Как видим, различие составляет всего 0,5", что для данных условий вполне допустимо.
Аналитическая оценка точности определения координат точки М по формуле (104) дает значение М = 0,0279 м = 28 мм. Все параметры, входящие в формулу (104), получены из решения обратной геодезической задачи по соответствующим направлениям ( 
; S2 = 2603,263 м; S3 = 2412,376 м; S4 = 3120,785 м; L3 = 3268,047 м; L4 = LСD = 5185,992 м). При этом значение М вычислено с учетом определения координат через исходные пункты В, С и D по формуле
.
13.3. Способ линейной засечки
Этот способ удобно использовать в тех случаях, когда имеется возможность измерения расстояний S светодальномером, либо непосредственно компарированной рулеткой в одно уложение (рис. 69). Такие схемы часто используют при небольших расстояниях между пунктами А и В, расположенными, например, на углах здания, и сравнительно большом расстоянии между пунктами В и С (в этом случае используют дополнительную точку Т, закрепляемую в створе линии ВС).
Кроме того, при большом расстоянии между точками А и В можно и между ними (в створе) выбрать в удобном месте дополнительную точку при соблюдении примерного равенстварасстояний S. Значения координат точки М вычисляют по формулам:
, (105)
, (106)
где
,
.
Формулы (105) и (106) используют в том случае, когда точка М находится слева от направления из точки А на точку В. В связи с этим перед вычислениями необходимо составить схему расположения точки М относительно исходных точек А и В и учесть это при записи разностей координат Х и Y.
Рис. 69. Линейная засечка
Задача решается дважды относительно точек А и В и точек В и С (Т).
Часто решение линейной засечки выполняют по несколько измененным формулам:
, (107)
, (108)
где 
, 
, 
.
Значение h берут со знаком «плюс», если точка М находится слева от направления из точки А на точку В. Если точка М находится справа от указанного направления, то значение h берут со знаком «минус».
Приближенная оценка точности произведенной линейной засечки может быть выполнена по формулам:
, (109)
, (110)
где mS / S – относительная погрешность измерения линий; γ – угол засечки при определяемой точке (его вычисляют по теореме косинусов в соответствующем треугольнике).
Углы при определяемой точке не должны быть меньше 30о и более 150о. Большая точность достигается при углах γ в пределах 90о.
Пример.Привязка способом линейной засечки.
Исходные данные (схема рис. 69):
ХА = 4365,848 м ХВ = 4411,185 м ХС = 5641,756 м
YA = 6513,603 м YВ = 6786,445 м YС = 8136,097 м
S1 = 211,423 м; S2 = 268,505 м; S3 = 379,666 м; S4 = 220,344 м.
Стороны измерены с относительной погрешностью 1:10000.
Решение.
Из решения обратной геодезической задачи находим:
; 
; SАВ = 276,583 м.
Определяем координаты точки Т (прямая геодезическая задача):
Воспользуемся формулами (105) и (106).
Для треугольника АВМ: n = 24551,453 ; D = 53072,306.
ХМ(1) = 4569,689 м ; YM(1) = 6569,716 м
Для треугольника ВМТ: n = -11749,929 ; D = 57984,954.
ХМ(2) = 4569,717 м ; YM(2) = 6569,737 м.
Невязки в координатах:
Если это условие удовлетворяет необходимой точности привязки, то вычисляют средние значения координат точки М:
ХМ = 4569,703 м; YМ = 6569,727 м
Выполним оценку точности определения координат точки М по формуле (110). Для этого по теореме косинусов найдем углы γ в треугольниках АМВ и ВМТ при точке М (вычисления достаточно выполнить с точностью до 0,50): γ1 = 69,20; γ2 = 34,70.
Из треугольников АВМ и ВМТ соответственно получим:
mM1 = 0,037 м; mM2 = 0,082 м; средняя погрешность mM = 0,5 
= 0,045 м.
Задания
Контрольные задания выполняются на листах писчей бумаги формата А4, либо половине указанного формата. Для отдельных заданий установлены другие форматы изображений.
Расчеты должны быть выполнены грамотно, в логической последовательности. Графические материалы выполняются карандашом, либо оформляются чернилами, если на это имеются указания в соответствующем задании.
На отчетном материале должна быть указана фамилия студента, группа и вариант задания. Обязательно приводятся исходные данные к выполнению того или иного задания и краткое содержание задания.
Задания выполняются в сроки, устанавливаемые преподавателем.
Задание № 1. Номенклатура карт
Задача 1. Определить номенклатуру листа топографической карты масштаба 1:25000, на котором находится точка с заданными географическими координатами (табл. 11).
Задача 2. Определить номенклатуру листов топографических карт масштаба 1:25000, граничащих с данным листом, полученным при решении задачи 1, на севере, юге, западе и востоке.
Таблица 11