Главная | Обратная связь

Погрешности измерения физических величин

ФГОУ ВО «Уральский государственный экономический университет»

 

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Лабораторный практикум

 

Учебное пособие для самостоятельной работы по физике

 

 

Екатеринбург

2015 г.

Рекомендовано к изданию научно-методическим советом

Уральского государственного экономического университета

 

Составители: Б.И. Бортник, Л.М. Веретенников, Г.А. Кожина,

А.В. Кожин, Е.Е.Кузнецова, Н.П. Судакова

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Данное учебное пособие представляет собой руководство по экспериментальной физике, предназначено для организации самостоятельной работы студентов всех форм обучения направлений «Технология продукции и организация общественного питания» и «Товароведение», «Прикладная информатика», « Бизнес-информатика», «Землеустройство и кадастры» и и др. по практическому изучению разделов курса общей физики (физические основы механики, термодинамика), а также для подготовки и проведения лабораторных работ и контроля этой практической работы.

Физический практикум является неотъемлемой частью курса физики. Ясное и глубокое усвоение основных законов физики и ее методов невозможно без работы в физической лаборатории, без самостоятельных практических занятий. В физической лаборатории студенты проверяют известные законы физики, а также обучаются работе с физическими приборами, овладевают навыками экспериментальной исследовательской деятельности, учатся грамотной обработке результатов измерений и критическому отношению к ним. Пособие рассчитано на студентов, не обладающих достаточным опытом самостоятельной работы в физической лаборатории. Поэтому описания работ выполнены подробно и обстоятельно. Особое внимание уделено теоретическому обоснованию применяемых экспериментальных методов, вопросам обработки результатов измерений и оценки их погрешностей. Описание каждой экспериментальной работы начинается с теоретического введения. В экспериментальной части каждой работы приводятся описания экспериментальных установок и задания, регламентирующие последовательность работы учащихся при проведении измерений, образцы рабочих таблиц для записи результатов измерений и рекомендации по методам обработки и представления результатов. В конце описаний предлагаются контрольные вопросы, ответы на которые учащиеся должны подготовить к защите работ. Для изучения каждой темы рекомендуется литература.

Погрешности измерения физических величин

Виды измерений.Эксперимент (от лат. Experimentum – проба, опыт) – один из основных методов исследования в физике. Он позволяет доказать или опровергнуть научное предположение, убедиться в справедливости установленных законов. В зависимости от целей, методики проведения используются разные виды эксперимента: поисковый, констатирующий, контрольный и др.

В ходе эксперимента осуществляются измерения. Измерение – организованное действие, выполняемое для количественного определения опытным путем значения какой-либо физической величины.

По характеру зависимости измеряемой величины от времени измерения разделяются на:

· статические, при которых измеряемая величина остается постоянной во времени;

· динамические, в процессе которых измеряемая величина изменяется и является непостоянной во времени.

Статическими измерениями являются, например, измерения размеров тела, постоянного давления, динамическими – измерения пульсирующих давлений, вибраций.

По способу получения результатов измерений их разделяют на:

· прямые;

· косвенные.

Прямые – это измерения, при которых искомое значение физической величины находят непосредственно по показаниям измерительных приборов, градуированных в требуемых единицах. Примерами прямых служат измерения длины тела линейкой, массы при помощи весов и др.

Косвенные – это измерения, при которых искомую величину определяют на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, т.е. измеряют не собственно определяемую величину, а другие, функционально с ней связанные. Значение измеряемой величины находят путем вычисления по формуле. Примеры косвенных измерений: определение объема тела по прямым измерениям его геометрических размеров, нахождение удельного электрического сопротивления проводника по его сопротивлению, длине и площади поперечного сечения.

Погрешности измерений. При анализе измерений следует четко разграничивать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления – результаты измерений.

Истинные значения физических величин – это значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Они не зависят от средств нашего познания и являются абсолютной истиной.

Результаты измерений, напротив, являются продуктами нашего познания. Они представляют собой приближенные оценки значений величин, найденные путем измерения, поэтому зависят от метода измерения, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, от свойств органов чувств наблюдателя, осуществляющего измерения.

Отклонение результата измерения х от истинного значения х_ист измеряемой величины называется погрешностью измерения. Но поскольку истинное значение х_ист измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и погрешности измерения, поэтому для получения хотя бы приближенных сведений о них вместо истинного значения используют так называемое действительное значение. Под действительным значением физической величины понимается ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него и может считаться истинным. Таковым, например, может быть среднее значение. Далее под истинным будет пониматься действительное значение.

Погрешности являются характеристиками (мерами) точности измерений. Используют абсолютные и относительные погрешности.

Абсолютной погрешностью называется разность между результатом измерения х и истинным значением х_ист измеряемой величины:

(1)

Абсолютная погрешность показывает, на сколько найденное значение может отличаться от истинного, и измеряется в тех же единицах, что и измеряемая величина.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности Δх к истинному значению х_ист измеряемой величины, как правило, выраженное в процентах:

 

. (2)

Она является безразмерной величиной и позволяет сравнивать точность самых разных измерений.

Так как с математической точки зрения погрешности представляют собой малые изменения величин, их свойства описываются теорией дифференциального исчисления. Можно выделить следующие основные свойства.

Абсолютная погрешность суммы или разности величин равна сумме абсолютных погрешностей измерения этих величин:

. (3)

 

Относительная погрешность произведения или отношения величин равна сумме относительных погрешностей измерения этих величин:

 

. (4)

 

Имеют место различные причины возникновения погрешностей: несовершенство методов измерений, технических средств, применяемых при измерениях, а также органов чувств наблюдателя. В отдельную группу следует объединить причины, связанные с влиянием условий проведения измерений: с одной стороны, с изменением внешних условий изменяются истинные значения измеряемых величин, с другой стороны, условия проведения измерений влияют и на характеристики средств измерений и физиологические свойства органов чувств наблюдателя. Описанные причины возникновения погрешностей определяются совокупностью большого числа факторов, под влиянием которых складывается суммарная погрешность измерения. Эти факторы можно объединить в две основные группы:

· факторы, проявляющиеся нерегулярно, действие которых трудно предвидеть (например, перекосы элементов приборов в их направляющих, нерегулярные изменения моментов трения в опорах, малые флюктуации влияющих величин, определяющих условия опыта, изменение внимания операторов и др.);

· факторы, постоянные или закономерно изменяющиеся в процессе измерительного эксперимента (например, плавные изменения величин, определяющих условия эксперимента, или погрешности применяемой при измерении шкалы).

Доля суммарной погрешности измерения, определяемая действием факторов первой группы, называется случайной погрешностьюизмерения. Ее основная особенность в том, что она случайно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. При создании измерительной аппаратуры и организации процесса измерения в целом значимость большинства факторов данной группы удается свести к общему уровню, так что все они влияют более или менее одинаково на формирование случайной погрешности. Однако некоторые из них, например внезапное падение напряжения в сети электропитания, могут проявиться неожиданно сильно, в результате чего погрешность примет размеры, явно выходящие за границы, обусловленные ходом эксперимента в целом. Такие погрешности в составе случайной погрешности называются грубыми. К ним тесно примыкают промахи – погрешности, зависящие от наблюдателя и обусловленные неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов. В процессе обработки результатов измерений их, как правило, не учитывают.

Доля суммарной погрешности, определяемая действием факторов второй группы, называется систематической погрешностьюизмерения. Их отличительная особенность в том, что они остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. До тех пор, пока систематические погрешности больше случайных, их зачастую можно вычислить или исключить из результатов измерений надлежащей постановкой опыта.

Таким образом, мы имеем два типа погрешностей измерения:

· случайные (в том числе грубые погрешности и промахи), изменяющиеся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины;

· систематические, остающиеся постоянными или закономерно изменяющиеся при повторных измерениях.

При прямых измерениях обработка результатов и расчет погрешностей осуществляется следующим образом.

В серии измерений получены значений физической величины: , , …, . Рассчитывается среднее арифметическое этих значений:

 

. (5)

 

Оно принимается за действительное, так как (если пренебречь систематической погрешностью) при увеличении числа измерений среднее арифметическое приближается к истинному значению измеряемой величины.

При проведении большой серии измерений величины чаще всего встречаются результаты относительно близкие к ее истинному значению . Чем больше значение отличается от истинного , тем реже оно встречается. Из теории вероятностей следует, что частота получения различных значений измеряемой величины, отличающихся от истинного, может описываться функцией распределения Гаусса, которое называют нормальным (см. рисунок).

X

Y

х_ист

 

Нормальное распределение значений измеряемой величины

 

Изображенная на графике функция представляет собой плотность вероятности получения определенных значений х, а также средних значений в процессе измерения. Эта плотность вероятности достигает наибольших значений вблизи истинного значения х_ист измеряемой величины. При этом величина вероятности Р попадания среднего значения в интервал ( ) около истинного значения, отображающий случайную погрешность, определяется величиной интервала, и тем больше, чем больше этот интервал. Однако слишком большой интервал будет соответствовать низкой точности измерения. Поэтому в зависимости от целей измерения задаются определенной величиной вероятности Р (не слишком большой и не слишком малой) и по соответствующим формулам математической статистики вычисляют интервал S_x, т.е. случайную погрешность. Во многих случаях оптимальной является величина вероятности Р = 68%. Этой вероятности соответствует интервал, называемый стандартным отклонением и вычисляемый по формуле

 

, (6)

 

где – численное значение измеряемой величины при i-м измерении, n – число измерений.

Более высокая вероятность Р = 95,5% соответствует попаданию в более широкий интервал ( ), еще более высокая вероятность Р = 99,7% соответствует интервалу ( ). В реальных опытах при малом числе измерений от 2 до 10 интервалы, имеющие вероятность > 70%, заметно расширяются, причем тем сильнее, чем меньше число измерений. Лишь интервал (x_ист ± S_x), почти не меняется при разном числе измерений.

Таким образом, можно считать, что в реальных измерениях в интервале (x_ист ± S_x) заключено примерно две трети результатов . Такая погрешность называется стандартной и принимается в работах физического практикума для оценки случайной погрешности прямых измерений.

Систематическая погрешность оценивается следующим образом. Если ее модуль и знак известны, она может быть исключена путем введения поправки. Так, если шкала прибора смещена на несколько делений, при снятии показаний следует отнять или прибавить соответствующую поправку.

Однако существуют систематические погрешности, модуль и знак которых неизвестны. Обычно они связаны с особенностями приборов, методов измерений. Их рассчитывают, исходя из характеристик прибора, в частности, учитывая степень точности.

В ряде случаев за систематическую погрешность принимают погрешность отсчитывания _. Она вызвана тем, что прибор не может дать показание точнее, чем позволяет его шкала, т.е. цена деления. Тогда погрешность отсчитывания и, следовательно, систематическая погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы. Так определяется систематическая погрешность в случаях однократных измерений.

Оценив случайную S_x и систематическую _, погрешности, можно рассчитать абсолютную погрешность измерения , которая равна их сумме:

 

. (7)

 

С учетом абсолютной погрешности результат прямых измерений представляется в следующей форме:

. (8)

 

Это означает, что данный интервал включает в себя истинное значение измеряемой величины с вероятностью 68%.

При косвенных измерениях оценка погрешности осуществляется на основе результатов прямых измерений.

Пусть искомая величина z связана с величинами z₁, z₂,..., z_m известной зависимостью:

 

(9)

 

Входящие в формулу величины z₁, z₂..., z_m определены в процессе прямых измерений, т.е. получены средние арифметические , абсолютные ( ) и относительные ( ) погрешности.

Средние значения определяются подстановкой в формулу (9) средних значений аргументов:

 

(10)

 

Абсолютная погрешность косвенного измерения находится через погрешности прямых измерений с помощью дифференцирования:

 

. (11)

 

При вычислении погрешностей косвенных измерений можно пользоваться свойствами погрешностей (3), (4). В частности, если формула (9) представляет собой произведение величин, найденных прямыми измерениями, то по формуле (4) можно оценить относительную погрешность E_z, а затем рассчитать абсолютную погрешность :

 

. (12)

 

Результат косвенных измерений также записывается в форме (8):

 

. (13)

Округление численных значений результатов измерений. Существенным моментом в обработке результатов измерений является округление численных значений. В промежуточных расчетах численное значение округляется так, чтобы оно содержало на один разряд больше, чем позволяет цена деления прибора. Окончательное округление осуществляется в соответствии с правилами:

· округление начинают после вычисления абсолютной погрешности;

· сначала округляется абсолютная погрешность Δх; ее величинаокругляется до одной значащей цифры (в наивысшем числовом разряде) или до двух значащих цифр, если первая из них является единицей;

· среднее значение округляется до такого же последнего разряда, до которого округлена абсолютная погрешность, т.е. они содержат одинаковые наименьшие числовые разряды;

· окончательный результат записывается в стандартном виде (с использованием степеней десятки).

Пример 1. Получено среднее значение площади пластинки 3228,35 мм² и абсолютная погрешность ΔS = 32,42 мм². Производим округление по вышеуказанным правилам: ΔS = 30 мм², 3230 мм². Результат записываем в виде: мм².

Пример 2. Получено среднее значение массы 3,2283 г и абсолютная погрешность Δm = 0,0102 г. Производим округление: Δm = 0,010 г, 3,228 мм². Результат записываем в виде: г.

Порядок проведения измерений. Таким образом, проведение измерений и обработка их результатов осуществляется в следующем порядке.

Прямые измерения:

· проводится серия измерений и определяется среднее арифметическое на основе формулы (5);

· рассчитывается случайная погрешность (6) ;

· учитывается систематическая погрешность и рассчитывается абсолютная погрешность (7);

· рассчитывается относительная погрешность (2);

· осуществляется округление и записывается окончательный результат в стандартном виде (8).

Косвенные измерения:

· проводится серия прямых измерений и обработка их результатов;

· вычисляется среднее арифметическое искомой величины путем подстановки средних результатов прямых измерений в соответствующую формулу (10);

· рассчитываются погрешности: либо сначала абсолютная по формуле (11), а затем относительная по формуле (2), либо с учетом свойств погрешностей и особенности используемой формулы сначала относительная по формуле (4), а затем абсолютная по формуле (12);

· осуществляется округление и записывается окончательный результат в стандартном виде (8).

РАБОТА № 1