Теория метода и описание установки
Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, закрепленный на оси, к концам которой прикреплены две нити. Концы нитей подвешиваются к неподвижной опоре (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Маятник Максвелла
Если нити намотать на ось, а затем отпустить маятник, то под действием сил тяжести и упругости он будет ускоренно спускаться, одновременно совершая вращательное движение вокруг своей оси. В крайнем нижнем положении, когда нити полностью размотаны, диск продолжает по инерции вращаться в том же направлении, нити наматываются на ось и маятник замедленно поднимается в исходное положение. Таким образом, сложное движение маятника включает поступательное перемещение его оси и вращения диска вокруг оси. Ускорение маятника а, следовательно, время движения от крайней верхней до крайней нижней точки его траектории зависит от массы и момента инерции маятника. Момент инерции характеризует инертные свойства тела во вращательном движении. Это позволяет экспериментально определить момент инерции маятника Максвелла известной массы, измерив время его движения с заданной высоты. Определим ускорение маятника, используя законы кинематики и динамики поступательного и вращательного движения и связь между кинематическими характеристиками этих движений. Рассмотрим силы, действующие на маятник. На рис. 1.2 изображено боковое сечение маятника Максвелла. Диаметр оси, на которую насажен диск – D. На маятник массы m действуют сила тяжести mg, приложенная к центру тяжести О, и сила натяжения нити Т, приложенная к оси в точке А и направленная вдоль нити.
Рис. 1.2. Силы, действующие на маятник Максвелла
Ускорение поступательного движения центра тяжести диска определяется вторым законом Ньютона: , или в скалярной форме, спроектировав на направление ускорения: . (1.1)
Динамика вращения диска относительно оси О описывается вторым законом Ньютона для вращательного движения:
, (1.2)
где – момент силы тяжести; – момент силы натяжения; I – момент инерции маятника; e – его угловое ускорение. Момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю: Mmg = 0, а момент M силы натяжения нити T равен произведению силы на плечо:
.(1.3) Для равнопеременного движения из состояния покоя путь h, пройденный маятником при спуске за время t, определяется формулой
, откуда его ускорение . (1.4) Угловое ускорение связано с линейным соотношением
. (1.5) С учетом (1.1) и (1.5) равенство (1.3) запишется в виде
.(1.6) Подставляя в последнее равенство выражение (1.4), получим:
,(1.7) откуда выразим искомый момент инерции I:
или , (1.8) где m – масса маятника; D– диаметр оси; t – время движения маятника с высоты h; g – ускорение свободного падения. Измерив время падения маятника t с известной высоты h, зная массу и диаметр оси, можно на основе законов движения экспериментально определить момент инерции системы – Iэксп. В данной лабораторной установке маятник Максвелла снабжен сменными дополнительными кольцами, позволяющими изменять его массу и момент инерции. Очевидно, что масса маятника
m = m0 + m1 + m2,
где m0 – масса оси; m1 – масса диска; m2 – масса сменного кольца. Момент инерции маятника:
I = I0 + I1 + I2,(1.9)
где I0–момент инерции оси; I1 –момент инерции диска;I2–момент инерции кольца. Значение момента инерции маятника может быть рассчитано и по его геометрическим размерам, так как момент инерции определяется распределением массы тела относительно оси вращения. Известно, что для тела цилиндрической формы момент инерции относительно его центра тяжести
, где R – радиус. Для кольца момент инерции определяется его массой, внешним R1 и внутренним R2 радиусами: . Следовательно, момент инерции оси маятника , момент инерции диска , момент инерции кольца . Суммируя эти величины согласно выражению (1.9), рассчитаем теоретическое значение момента инерции маятника Iтеор. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|