Главная | Обратная связь

Основы теории упругой деформации

Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. При пластической деформации тело сохраняет остаточные деформации и после прекращения действия внешних сил. Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

Между атомами и молекулами в твердом теле действуют силы взаимного притяжения и отталкивания. Характер изменения этих сил с расстоянием r между атомами будет таким же, как и в жидкости и в реальном газе. При больших расстояниях между атомами (или другими элементами, составляющими решетку) преобладают силы притяжения, быстро убывающие с расстоянием r. При сближении атомов на расстояние, меньшее r_o, начинает превалировать взаимное отталкивание.

На рис. 5.1 приведена качественная зависимость силы межмолекулярного взаимодействия f от расстояния между молекулами r.

 

 

Рис. 5.1. Зависимость силы межмолекулярного взаимодействия f от расстояния между молекулами r

 

При r = r₀ силы отталкивания и притяжения уравновешивают друг друга, поэтому атомы твердого тела при отсутствии внешних сил располагаются на расстоянии r₀ друг от друга.

Приложим растягивающие силы F к обоим концам стержня длиной l и площадью поперечного сечения S. Под действием этих сил стержень удлинится на некоторую величину Dl (рис. 5.2). При этом расстояния между соседними атомами вдоль оси стержня возрастут на некоторую величину Dr (рис. 5.1). Очевидно, что

,

(5.1)

откуда .При смещении атомов из своих положений равновесия между ними возникнут силы притяжения f, причем |f| возрастает с увеличением Dr. При малых растяжениях, пока Dr << r₀, сложную криволинейную зависимость f от r можно практически заменить прямой линией. Тогда f будет прямо пропорциональна Dr, и для проекции силы f на направление r можно написать

,

(5.2)

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от конкретного вида взаимодействия для атомов данного твердого тела.

 

Рис. 5.2. Удлинение стержня при деформации растяжения

 

Мысленно расчленим рассматриваемый стержень на ряд параллельных цепочек атомов. Число этих цепочек, приходящихся на единицу поперечного сечения стержня, обозначим n₀. Тогда во всем поперечном сечении будет действовать суммарная сила притяжения:

.

(5.3)

Величина Dr будет возрастать до тех пор, пока эта сила не уравновесит растягивающее усилие F, т.е.

,

(5.4)

или в проекции на направление r:

.

(5.5)

Отсюда, учитывая уравнение (5.1), получим:

.

(5.6)

Обозначим

.

(5.7)

Величина Е зависит от рода вещества и называется модулем Юнга. Из формул (5.5) и (5.6) следует, что

.

(5.8)

Или, что то же самое:

.

(5.9)

Соотношения (5.8) и (5.9) выражают закон Гука: относительное удлинение прямо пропорционально напряжению (растягивающему усилию на единицу площади).

На рис. 5.3, где изображена зависимость абсолютного удлинения от растягивающей силы, закон Гука соответствует начальному прямолинейному участку кривой 0-1.

 

 

Рис. 5.3. Диаграмма растяжения

 

При r=r₀ кривая зависимости силы взаимодействия между атомами от расстояния (см. рис.5.1) непрерывна и имеет одинаковый наклон касательной по обе стороны от этой точки. Соотношение (5.8) справедливо и при сжатии (Dl<0 и F<0) с тем же самым значением модуля Юнга Е. Величина модуля Юнга Е различна для разных веществ.

Как было сказано выше, применимость закона Гука ограничена условием малости относительных удлинений:

<< 1

(5.10)

Закон Гука выполним для незначительных растягивающих сил (меньших силы F₁, соответствующей точке 1 на рис. 5.3), при которых возникают упругие деформации. При дальнейшем увеличении внешней растягивающей силы соотношение (5.8) выполняться не будет, зависимость деформации от величины силы примет сложный вид (рис. 5.3). Криволинейный участок 1-2 соответствует началу пластического деформирования, приводящего к возникновению остаточных деформаций (таких деформаций, которые остаются после снятия растягивающей нагрузки). Процесс пластического деформирования продолжается до самого разрушения материала, соответствующего концу диаграммы растяжения (точка 5 на рис. 5.3), но наиболее интенсивно он протекает при достижении некоторой растягивающей силы F₂. Напряжение, соответствующее силе F₂, называют пределом текучести материала. Участок диаграммы 2-3, параллельный оси абсцисс, называется площадкой текучести. Здесь наблюдается рост удлинения без увеличения растягивающей нагрузки. Процесс пластического деформирования является необратимым, он сопровождается сдвигами в кристаллах благодаря точечным, линейным и пространственным дефектам, всегда присутствующим в реальных материалах. При дальнейшем растяжении образца наблюдается увеличение удлинения с ростом растягивающей силы. Участок диаграммы 3 - 4 называют зоной упрочнения. Сила F₄, соответствующая точке 4, является максимальной нагрузкой, которую может выдержать образец; соответствующее напряжение, возникающее в образце, называется пределом прочности материала.

В данной работе модуль Юнга находится из опыта с изгибом стержня (рис. 5.4). Под изгибом мы понимаем деформацию стержня, закрепленного с двух концов, под действием силы, перпендикулярной его оси. Под действием этих сил верхние слои стержня (a-b) будут сжиматься, а нижние (c-d) – растягиваться, а некоторый средний слой (m–n), который называется нейтральным, сохранит свою длину.

 

 

Рис. 5.4. Деформация изгиба стержня

 

Перемещение l, которое получит средняя часть стержня в направлении, перпендикулярном продольной оси, под действием внешней силы F, называется стрелой прогиба.

Теория деформаций дает следующее выражение для деформации стержня под действием силы F, приложенной к середине стержня:

,

(5.11)

где l – длина стержня; a – ширина стержня; b – высота стержня; l – прогиб (показания индикатора).

Из формулы (5.10) получаем расчетное выражение для модуля Юнга:

,

(5.12)

где – стрела прогиба, вызываемая действием силы, равной единице.

Сила F в условиях данной работы есть вес гири, действующий на стержень. Из условия равновесия гири получаем, что , где m – масса гири; g – ускорение свободного падения.

 

Описание установки

 

Прибор состоит из призм (опор стержня), исследуемого стержня, стрелочного индикатора, цена деления которого 0,01 мм. К прибору прилагается набор гирь.