Главная | Обратная связь

Спектральное представление случайных сигналов

Для описания случайных сигналов, описываемых случайными функциями, может быть применен подход, аналогичный представлению детерминированных сигналов совокупностью элементарных базисных сигналов (§2.2).

Действительно, пусть случайная функция имеет математическое ожидание и соответствующую центрированную случайную функцию :

. (2.128)

Центрированную случайную функцию можно выразить в виде суммы ортогональных составляющих, каждая из которых состоит из произведения неслучайной базисной функции и коэффициента разложения , являющегося случайной величиной:

. (2.129)

Неслучайные базовые функции называют координатными функциями. Коэффициенты разложения в общем статистически зависимы и эта зависимость может быть задана матрицей коэффициентов корреляции . Для конкретной реализации коэффициенты разложения могут быть определены из выражения:

, (2.130)

где - интервал существования случайной функции .

Предположив, что неслучайная функция ограничена, то есть

, (2.131)

ее также можно представить в виде разложения по ортогональным функциям :

; (2.132)

. (2.133)

Тогда выражение (2.128) с учетом (2.129) и (2.133) преобразуется к виду:

, (2.134)

который позволяет существенно упростить линейные преобразования случайного сигнала.

Для определения требований к координатным функциям полезно рассмотреть корреляционную функцию центрированной случайной функции . По определению

(2.135)

Так как в общем случае

то

. (2.136)

Если предположить, что коэффициенты некоррелированы, то есть

то выражение (2.136) существенно упрощается:

. (2.137)

В частном случае, при корреляционная функция обращается в дисперсию случайной функции :

. (2.138)

Поэтому в качестве координатных функций целесообразно выбирать такие функции, которые обеспечили бы некоррелированность коэффициентов разложения . Разложение (2.129), использующее такие функции, называют каноническим разложением. В этом случае центрированная случайная функция будет характеризоваться совокупностью дисперсий коэффициентов разложения, которую можно рассматривать как обобщенный спектр случайной функции. Этот спектр при каноническом разложении (2.129) является дискретным (линейчатым) и может содержать как конечное, так и бесконечное число линий.

Основной трудностью при использовании канонического разложения является определение координатных функций, однако для стационарных случайных функций эта операция легко выполнима.