Определение группы преобразований.
-Аффинные преобразования образуют группу, так как множество объектов, на которые они действуют, замкнуто относительно аффинных преобразований. -Аффинные преобразования содержат тождественное преобразование, выполняющего роль единичного элемента группы. -Для каждого аффинного преобразования существует обратное, уничтожающее его действие; последовательное выполнение прямого и обратного аффинных преобразований есть тождественное преобразование. -Последовательное выполнение трех аффинных преобразований А1 ° А2° А3,, ассоциативно, т.е.
(А1 ° А2) °А3= А1 °( А2° А3)= А1 ° А2° А3. (3.4)
Группа аффинных преобразований коммутативна, или абелева, т.е. для любых двух аффинных преобразований А1, А2 результат их последовательного выполнения не зависит от того, в каком порядке идут «множители»:
А1 ° А2= А2° А1 (3.5)
Преобразования подобия также образуют группу - подгруппу группы аффинных преобразований. Преобразования подобия действуют не только в пространстве - на геометрические фигуры, но и на дискретные последовательности, а также на решения дифференциальных уравнений и на сами дифференциальные уравнения. Преобразования подобия лежат также в основе анализа размерности.
3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
Физический критерий самоподобия (и самоаффиннантности) динамической системы: отсутствие в системе естественного масштаба (по которому можно было бы судить, подверглась ли система растяжению или сжатию). Размерность физической величины принято выражать в определенном классе систем единиц, т.е. предварительно выбрав набор основных единиц. Остальные величины имеют размерности, которые представимы в виде мономомов - т.е. произведений степеней основных единиц: Lα Mβ Tγ Например, в механике удобно использовать класс систем единиц L M T, в котором за основные единицы выбраны длина (L),масса (М) и время (Т). Частными случаями класса LMT служат системы CGS(сантиметр - грамм - секунда), техническая система (метр- тонна - час). Переход от одной системы в данном классе систем единиц к другой системе осуществляется с помощью аффинного преобразования, так как по каждой из основных единиц коэффициент преобразования «свой», отличный от коэффициентов преобразования подобия по другим единицам. Выбрав класс систем единиц, можно условиться записывать в виде векторов с компонентами из показателей α ,β, γ : Lα Mβ Tγ ↔ (α ,β, γ) Анализ размерностей позволяет получать соотношения в тех случаях, когда вывод их представляет, казалось бы, неразрешимую задачу. Тщетно было бы искать естественный масштаб длины в классической механике до тех пор пока в 1900 г. Макс Планк выдвинул гипотезу квантов, согласно которой энергия могла излучаться и поглощаться малыми, но конечными порциями - квантами: h ν,где h= 6, 626 • 10-27гсм2/с- постоянная Планка. В 1913 г. Нильс Бор соединил гипотезу Планка с планетарной моделью атома Резерфорда. Простейший атом (водорода), по Бору, представлял собой положительно заряженное массивное ядро и электрон, обращавшийся вокруг ядра по круговой орбите. В классе систем единиц LMTхарактеристики атома водорода имели следующие величины и размерности: m = 9,109 *10-28г, e = 4,803*10-10(г см3/с)1/2, h = 6,626*10-27г см2/с, поэтому диаметр атома водорода составлял dH =(1/2π2 )(h2/me2) = 1,058*10-8см. Он-то и стал естественным масштабом длины, существование которого нарушило самоподобие. В основе анализа размерностей лежит П-теорема, согласно которой безразмерная комбинация одних величин есть функция безразмерных комбинаций других величин, число которых зависит от класса систем единиц и размерностей величин, участвующих в изучаемом явлении. Если имеется зависимость размерной или безразмеpной величины a от n размерных или безразмерных параметров, инвариантная по отношению к выбору системы единиц, то при соответствующем выборе масштабов ее можно представить как зависимость между n+1-k безразмерными параметрами, где k – максимальное число величин, независимых по размерности из a, a1,…, an. Таким образом, теорема устанавливает безусловное преимущество безразмерной постановки задач. И так, величины с разными размерностями не могут складываться. Размерность служит некоторой специфичной характеристикой физической величины, позволяющей отличать ее от других величин. Само понятие размерности вводится после того как выбраны некоторые основные физические величины и установлены единицы для их измерения. Например, в механике мы обычно принимаем за основные величины массу, длину и время. В системе единиц СГС эти величины измеряются соответственно в граммах - массы, сантиметрах и секундах; в системе СИ - в килограммах - массы, метрах и секундах. Выражение единиц измерения произвольной физической величины через единицы измерения основных величин называется размерностью. Здесь нам будет достаточно принять без длинных рассуждений следующие интуитивно ясные утверждения. 1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|