 |
|
ПРИМЕР К ЗАДАЧЕ 1.3.
Круглый стальной вал сплошного сечения жестко закрепленный одним концом, находится под действием четырех внешних скручивающих моментов M1=3,5 кН×м, М2=5 кН×м, М3=4 кН×м, М4=2,5 кН×м (рис.1).
Требуется :
1. Построить эпюру крутящих моментов.
2. Определить диаметр вала из расчета на прочность [t]=6 кН/см2.
3. Построить эпюру углов закручивания G = 8´103 кН/см2
4. Найти наибольший относительный угол закручивания на 1 м длины.
*Примечание:На рис.1.3 использовано плоское изображение крутящих моментов:
- означает начало стрелки (“на нас”); - конец стрелки (“от нас”).
Рис. 1
РЕШЕНИЕ
1. Построение эпюры крутящих моментов.
Для определения крутящего момента в сечении пользуемся методом сечений. Разбиваем вал на участки, начиная со свободного конца. Границами участков служат точки приложения внешних крутящих моментов.
Для данного вала получаем 4 участка. Для каждого из участков рассматриваем равновесие отсеченной правой части. Крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от сечения. Для правой отсеченной части Мz направлен по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси z.
1 участок: 0 £ z1 £ 1,5 м
| åMZ = 0 -MZ1 + M4=0 MZ1 = M4 = 2,5 кН×м |
2 участок: 1,5 £ z2 £ 3,3 м
| åMZ = 0 -MZ2 -М3 + M4=0 MZ2 = M4 - M 3 = 2,5 -4 = -1,5 кН×м |
3 участок: 3,3 £ z3 £ 4,9 м
| åMZ = 0 -MZ3+М2 –М3 + M4=0 MZ3 = M4 - M 3 + М2 = = 2,5 -4 + 5 = 3,5 кН×м |
4 участок: 4,9 £ z4 £ 6,4 м
åMZ = 0 -MZ4 + M1 + M2 - M3 + M4 = 0
MZ4 = M4 - M3 + М2 + М1 = 2,5 - 4 + 5 + 3,5 = 7 кН×м
Эпюры крутящих моментов показаны на рис.2
Опасное сечение - сечение в котором крутящий момент принимает максимальное значение МZmax =7 кН×м - все точки 4 -го участка.
2. Подбор диаметра вала
По наибольшему моменту MZmax из условия прочности при кручении подбираем диаметр вала:
tmax = 
[t]
Полярный момент сопротивления для круглого сечения 
;
MZmax = 7 кН×м =700 кН×см.
Отсюда
= 
= 8.4 см = 84 мм.
После округления до стандартного значения получаем D = 90 мм=0.09 м.
3. Вычисляем углы закручивания j.
Обозначаем буквами А, В, С, D, Е границы участков, начиная с заделки (рис.2). Если на участке вала длины l крутящий момент M и жесткость GIр постоянны, то угол поворота торцевых сечений определяется по формуле:
j = 
G = 8 × 103 кН/см2 
см4
Жесткость вала при кручении GIr = 8 ×103 × 643,8 = 5,15 106 кН см2
Вычисляем углы закручивания начиная от неподвижного сечения. В заделке jА = 0
jВ = jА + jАВ =0+ 
(рад)
Здесь jAB угол поворота торцевых сечений на участке AB. MAB = MZ4 = 7 кН×м = 700 кН×см, lAB= 1.5м = 150 см (длина участка AB )
Аналогично получаем:
jC = jB + jBC =jВ+ 
0.0204+0.0109=0.0313 (рад);
jD = jc + jCD =jc+ 
0.0313-0.052=0.0261 (рад);
jЕ = jD + jDE =jD+ 
0.0261+0.0073=0.034 (рад).
Эпюры углов поворота приведены на рис.2.
4. Вычисляем относительные углы закручивания на каждом участке.
(м-1);
(м-1);
(м-1);
(м-1).
Наибольший угол закручивания на 1 метр длины qmax = qAB =0.0136 (м-1 ).
Рис. 2.