 |
|
Тема 2. Управляемость, устойчивость. Обратная связь. Адаптивные системы. Анализ свойств систем.
Занятие 2.
Управление системой – воздействие на нее управляющей системы с целью достичь определенного состояния или свойств поведения. При одностороннем управлении имеется только воздействие управляющей системы на управляемую. При управлении с обратной связью имеется и обратное воздействие, а следовательно – возможность управляющей системы наблюдать и корректировать действия управляемой. Если управляющая система входит во внешнюю среду управляемой системы, то последняя управляется извне (внешнее управление), в противном случае имеет место внутреннее управление.
Управляемость системы – свойство системы изменять закономерность функционирования в желаемом направлении под воздействием управляющих сигналов.
Равновесие – способность системы в отсутствие внешних возмущающих воздействий (или при постоянных воздействиях) сохранять свое состояние сколь угодно долго. Устойчивость – способность системы возвращаться в состояние равновесия после того, как она была из этого состояния выведена под влиянием внешних возмущающих воздействий (если эти возмущающие действия не превышают некоторого предела).
Система адаптивна, если своей реакцией на воздействия окружающей среды она создает благоприятные условия для своей дальнейшей деятельности.
Задание 1. Система – автомобиль с водителем. Управление – внутреннее, с обратной связью: водитель видит показания приборов, происходящее за окном движение, анализирует эту информацию и соответствующим образом воздействует на органы управления машиной. Система управляема. Цель системы – достижение конечного пункта. Данная система устойчива, если внешняя среда не создает форс-мажорных обстоятельств (крупная авария, погодный катаклизм). Система адаптивна, так как опытный водитель, ориентируясь по ситуации на дороге, выбирает наилучшее управление автомобилем.
Задание 2. Рассмотрите системы: артиллерийский снаряд, комнатное растение, часы с маятником. Выделите тип управления, адаптивности, устойчивости и управляемости при различных условиях.
Задание 3.Проанализируйте вопросы управления, адаптивности, устойчивости и управляемости системы «Рынок» и ее подсистем.
Занятия 3-4.
Задание 4.Судно идет через шторм и отклонение его от заданного курса (измеряющееся в некоторых условных единицах) равно
D(t+1) = (1+10/v)D(t) + 2N(t),
где время t измеряется в минутах, t=0 – начало шторма, D(0)=2, N(t) – влияние ветра, случайно меняющееся в пределах [1,2], скорость измеряется в узлах. Капитан может увеличить скорость судна до определенного предела (который недостаточен для того, чтобы миновать шторм раньше его окончания). Сможет ли капитан, набрав достаточную скорость, удержать судно на отклонении не более 2 500, если шторм длится 10 минут? Шторм длится 12 минут? Скорость судна постоянна.
Решение.На основе рекуррентного соотношения в условии задачи можно методом математической индукции доказать, что отклонение судна от курса в момент времени D(t) равно
D(t) = (1+10/v)t D(0) + 
2t-1-i N(i).
Из последней формулы видно, что значение D(t) можно представить как сумму управляемой части, зависящей от скорости судна:
Dупр(t) = (1+10/v)t D(0)
и неуправляемой, которая от действий капитана не зависит:
Dнеупр(t) = 2t-1-i N(i).
По условию N(i) 
[1,2], исходя из этого определим границы диапазона Dнеупр(t):
Dнеупр(t) [ 2t-1-i , 2t-i ] = [2t -1, 2t+1-1].
Для указанных в задаче интервалов имеем Dнеупр(12) [4095, 8191], Dнеупр(10) [1023, 2047]. Отсюда следует, что после 12 минут шторма будет
D(12) = Dупр(12) + Dнеупр(12) = 2(1+10/v)12 + Dнеупр(12) > 2+4095 = 4097
и капитан не сможет гарантированно удержать судно в пределах заданного отклонения от курса. Для шторма продолжительностью 10 минут получаем
D(12) = Dупр(12) + Dнеупр(12) [1023+2(1+10/v)10, 2047+2(1+10/v)10].
Для гарантированного решения задачи необходимо подобрать скорость v такой, чтобы верхняя граница данного интервала не превосходила заданного предела отклонения от курса:
2500 
2047+2(1+10/v)10.
Если данное неравенство имеет решение относительно v, то ответ на вопрос задачи для случая шторма на 10 минут положительный. Решая неравенство, получаем v 13,890… При таких значениях скорости судно удерживается в заданных пределах.
В данной ситуации система (судно) имеет внутреннее управление с обратной связью, окружающая среда оказывает активное воздействие на траекторию. Если цель системы – следовать, отклоняясь от курса не более чем на 2500 единиц, то устойчивость ее зависит от времени шторма, как видно из решения задачи. Адаптивность системы в рассматриваемом случае не выражена.
Задание 5. Охотник коптит добычу, поддерживая огонь под закрепленной на дереве тушей. Если огонь будет слишком высоким, мясо подгорит, а если слишком слабым – остынет. Когда охотник сменил своего товарища, высота огня была на уровне от 1 до 2 метров. Задача охотника – и дальше поддерживать огонь в этом диапазоне. Для этого он каждую минуту подбрасывает в костер топливо. Кроме того, на костер действует ветер, который может раздуть огонь и забросить в него новые ветки и листья. Сила и направление ветра меняются. Известно, что если в момент t (t = 0, 1, …) высота пламени была равна S(t), то через минуту
(в момент t+1) высота пламени будет
S(t+1) = AS(t) + 2U(t),
где А – параметр влияния ветра, ежеминутно меняющийся в диапазоне [0, 1,5],
U(t) – количество топлива, которое охотник положил в костер в момент t.
Требуется: выделить в данной ситуации управляемую и управляющую систему, управляющие сигналы и определите тип управления. Доказать, что охотник не сможет гарантированно удержать размер пламени в заданном диапазоне. Найдите все значения х, при которых охотник сможет гарантированно управлять огнем при условии, что параметр влияния ветра принимает значения из отрезка [0, x]. Чему в этом случае равно наименьшее необходимое количество топлива, которое нужно подавать в каждый момент времени?
Занятие 5.
Пример.Схема состоит из n узлов и некоторого количества соединений между ними (каждое соединение соединяет ровно два узла, т. е. контакта между соединениями в местах их пересечения нет). Необходимо, чтобы в любой момент каждые два узла были или соединены между собой или взаимно достижимы через другие узлы по некоторой цепочке соединений (т.е. схема как граф должна быть связной). Постройте такую схему, которая бы оставалась связной после «аварии» (отказоустойчивую схему), если «авария» это уничтожение одного из узлов вместе со всеми соединениями, в которых он участвует. «Аварийные» узлы и соединения заранее не известны, то есть, авария может случится в любом месте. Задачу решить в двух случаях: если между каждыми двумя узлами не может быть более одного соединения и если может быть несколько. Основное требование: во всех построенных схемах соединений было минимальным (доказать).
Решение. В данном случае цель системы – сохранять взаимосвязь узлов. Система устойчива, если после «аварии» соответствие ее своей цели сохраняется.
Если какой-либо узел X будет связан только с одним из остальных, то при «аварии» последнего узел X останется изолированным, что противоречит отказоустойчивости. Поэтому каждый узел системы связан по крайней мере с двумя другими. Общее число соединений при этом не менее 2n/2=n (поскольку каждое соединение учитывается дважды, необходимо 2n разделить на 2). Пример такого соединения – узлы, расположенные в вершинах n-угольника и соединенные по его ребрам: для каждой пары узлов есть два соединяющих их непересекающихся пути, поэтому при разрыве одного из таких путей другой сохраняется.
Задание 6.Решите задачу для ситуации, описанной в приведенном выше
примере, если «авария» это
1) уничтожение двух узлов вместе со всеми соединениями, в которых
они участвуют;
2) уничтожение двух соединений без уничтожения смежных им узлов.
Задачи решить в двух случаях: если между каждыми двумя узлами не может быть более одного соединения и если может быть несколько. Для каждой задачи должно быть как минимум два варианта решения. Задачи нужно решить таким образом, чтобы в построенной схеме количество соединений было минимальным.