Главная | Обратная связь

Эмпирическая функция распределения

: Определение. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х.

где n_x – число вариантов (число х_i) меньших х; n – объем выборки.

 

Свойства:

1. Значение F*(х) принадлежит отрезку [0, 1]: ;

2. F*(х) – неубывающая функция;

3. Если x_i – наименьшее наблюдаемое значение, х_k – наибольшее наблюдаемое значение, то F*(х) = 0 при ;

F*(х) = 1 при .

Пример 7. Пусть результаты наблюдений представлены в виде следующего ДСР (данные примера 3):

xi
wi	1/20	2/20	3/20	4/20	5/20	3/20	2/20

Объём выборки по условию примера n = 20. Наименьшая варианта равна 1, значит, m_x = 0 при x ≤ 1. Тогда при x ≤ 20. Следующая варианта в ранжированном ряду равна 2. Рассмотрим 1 < x ≤ 2. В этом случае неравенство X < x выполняется для варианты x₁ = 1. Эта варианта встречается один раз в выборке, поэтому m_x = 1 и .

Далее, если 2 < x ≤ 3, то неравенство X < x выполняется для вариант x₁ = 1 и x₂ = 2. Варианта x₁ встречается один раз, а варианта x₂ встречается два раза, поэтому m_x = 1 + 2 = 3 и и т.д. Следовательно, аналитически функция определяется следующим образом:

Замечание. Вообще, если известен ДСР, то   Здесь xk совпадает с xmax.

Суммы обычно называются накопленными относительными частотами.

Построим график по данным примера 7 (рис. 6).

Рис. 6

Если результаты наблюдений представлены в виде ИСР, то выборочную функцию строят иначе.

Пример 8. Рассмотрим для этого следующий вариационный ряд:

[xi; xi+1)	[0; 10)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
wi	1/30	2/30	3/30	4/30	5/30
[xi; xi+1)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)	[80; 90)	[90; 100]
wi	5/30	4/30	3/30	2/30	1/30

Очевидно, что для функция , т.к. m_x = 0. Пусть теперь . В этом случае число не определено, т.к. неизвестно, сколько выборочных значений случайной величины, принадлежащих этому интервалу, меньше x. Если x = 10, то m_x = 1. Следовательно, в этом случае . Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значение функции можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала . Значение функции в указанных точках можно записать в виде таблицы:

x

Так как эта таблица определяет функцию не полностью (не для всех x известны ее значения), то при графическом изображении данной функции ее доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. В результате график функции будет представлять собой непрерывную линию. Подобный график выборочной функции часто называют кумулятивной кривой (от англ. accumulation – накопление).

Построим график по данным примера 8 (рис. 7).

Рис. 7

 

Задачи _______________________________________________________ ´

1. Для проведения демографических исследований выбрали 50 семей и получили следующие данные о количестве членов семьи:

Составить ДСР.

2. В ходе проведения эксперимента получен следующий набор данных:

Составить ИСР, выбрав число интервалов группирования, равное 7.

3. На телефонной станции проводились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

Составить ДСР.

4. Управление сельского хозяйства Костромского района представило сводку по пятидесяти хозяйствам. Согласно этой сводке урожайность ржи в них составила (в центнерах с гектара):

17,5	17,8	18,6	18,3	19,1	19,9	20,6	20,1	22,0	21,4
17,5	18,5	19,0	20,0	22,0	20,6	19,1	18,6	17,9	19,1
22,0	19,0	17,5	22,0	22,0	21,0	21,4	19,0	17,8	18,3
19,9	20,1	21,4	18,5	20,0	20,6	18,6	21,4	21,0	20,0
20,0	18,0	18,0	18,0	17,5	18,6	19,1	20,6	17,5	18,6

Составить ИСР.

5. Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В результате наблюдения получены следующие значения выигрышей (тыс. руб.):

Составить ДСР.

6. В таблице приведена выборка результатов измерения роста 105 студентов (юношей). Измерения проводились с точностью до 1 см:

Составить ИСР.

7. В супермаркете проводились наблюдения над числом X покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30 часов (15 дней в период с 9 до 10 и с 10 до 11 часов) дали следующие результаты:

Число X является дискретной случайной величиной, а полученные данные представляют собой выборку из n = 30 наблюдений. Составить ИСР.

8. В городе A для определения сроков гарантийного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет с момента продажи автомобиля магазином. Получен следующий результат (тыс. км):

3,0	25,0	18,6	12,1	10,6	18,0	17,3	29,1	20,0	18,3
21,5	26,7	12,2	14,4	7,3	9,1	2,9	5,4	40,1	16,8
11,2	9,9	25,3	4,2	29,6

Составить ИСР.

9. Средняя месячная зарплата за год каждого из пятидесяти случайно отобранных работников хозяйства такова (тыс. руб.):

Здесь случайной величиной X является средняя месячная зарплата. Составить ИСР.

10. На фирме работает 39 человек. Проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником фирмы в течение месяца. Результаты этого исследования таковы:

Составить ИСР. Найти функцию распределения случайной величины числа пропущенных дней и построить ее график.

11. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ДСР и построить ее график:

а)

xi
ni

б)

xi	-2
ni

12. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ИСР и построить ее график:

[xi; xi+1)	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
ni
[xi; xi+1)	[10; 12)	[12; 14)	[14; 16)	[16; 18]
ni

а)
б)

[xi; xi+1)	[11; 14)	[14; 17)	[17; 20)	[20; 23)
ni
[xi; xi+1)	[23; 26)	[26; 29)	[29; 32)	[32; 35]
ni

13. Построить полигоны частот и относительных частот распределения по данному ДСР:

xi
ni

14. Построить полигон частот по данному ДСР:

xi
ni

15. Построить полигоны относительных частот по данному ДСР:

xi
wi	0,4	0,2	0,3	0,1

16. Построить гистограмму частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)	[20; 25)
ni
[xi; xi+1)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40]
ni

17. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[2; 5)	[5; 8)	[8; 11)	[11; 14]
wi	0,18	0,2	0,5	0,12

18. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[3,2; 3,4)	[3,4; 3,6)	[3,6; 3,8)	[3,8; 4,0)	[4,0; 5,0]
wi	0,1	0,2	0,5	0,2	0,2

19. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[6,67; 6,69)	[6,69; 6,71)	[6,71; 6,73)	[6,73; 6,75)	[6,75; 6,77)
ni
[xi; xi+1)	[6,77; 6,79)	[6,79; 6,81)	[6,81; 6,83)	(6,83; 6,85]
ni

20. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[3; 5)	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)
ni
[xi; xi+1)	[11; 13)	[13; 15)	[15; 17]
ni

21. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[-2; 2)	[2; 6)	[6; 10)	[10; 14)	[14; 16)
ni

 

22. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)	[60; 65)	[65; 70)	[70; 75)	[75; 80]
ni