Тема 3 «Средние величины и показатели вариации» (задачи №22-42)

Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Только тогда средняя применима правильно, когда получают величины, имеющиереальный экономический смысл.

Средняявеличина - это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. В статистике применяются несколько видов средних величин. Наиболее распространенными являются средние арифметические. Простая средняя арифметическая применяется, когда данные первичны, т.е. данные не сгруппированы, представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда.

, (3)

где х – искомый признак,

n – число единиц совокупности.

При наличии весов и частот применяется средняя арифметическая взвешенная. При этом частотами (весами) могут быть относительные величины, взятые в процентах или коэффициентах.

, (4)

где f – частоты или веса.

Для нахождения средней по способу «моментов» используется формула:

, (5)

где m_i- момент 1-го порядка;

i- ширина интервала;

A- варианта с наибольшей частотой.

. (6)

Колеблемость отдельных значений признака изучается при помощи показателей вариации.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Размах вариации характеризует величину диапазона изменения признака.

, (7)

где - максимальное значение признака,

- минимальное значение признака.

Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений и обозначается . В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

— дисперсия невзвешенная (простая); (8)

— дисперсия взвешенная. (9)

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии и обозначается S:

— среднее квадратическое отклонение невзвешенное; (10)

— среднее квадратическое отклонение взвешенное. (11)

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

. (12)

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

. (13)

Коэффициент вариации- относительный показатель колеблемости, равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

. (14)

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Расчет показателей вариации целесообразно проводить, заполнив таблицу 3.

Таблица 3 – Расчет показателей вариации

Группы предприятий по количественному признаку

Число предприятий в группе

Середина интервала Х

Х – Х

│Х – Х │. f

(Х – Х )²

(Х – Х )² f

Итого

Решение задачи следует завершить формулировкой выводов, раскрывающих экономическое содержание моды, медианы, средней величины признака и показателей вариации.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

, (15)

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

i - величина интервала группировки;

f₁ - частота интервала, предшествующему модальному;

f₂ - частота модального интервала;

f₃- частота интервала следующего за модальным.

Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

, (16)