Главная | Обратная связь

Оценка погрешности при косвенных измерениях

Под косвенными измерениями понимают измерения, результат которых получают вычислением по известным математическим зависимостям, выраженных в виде явной функции, т.е. .

Величины x₁, …, x_i, …, x_m, подвергают прямым измерениям и их называют измеряемыми аргументами. Например,

или .

Наиболее распространены случаи, когда значения аргументов получены прямыми измерениями с однократными наблюдениями. Хотя имеют место случаи, когда значения аргументов получают прямыми измерениями с многократными наблюдениями.

Результат косвенного измерения получают подстановкой значений аргументов в функцию.

Предположим, что косвенное измерение описывается функцией одного аргумента и ее графическое изображение имеет вид, представленный на рис.5.4.

 

Рисунок 5.4 – К оценке погрешности косвенного измерения

 

Из рисунка следует, что погрешность косвенного измерения вычисляется по выражению:

 

,

(5.9)

 

где − частная производная функции по аргументу в точке результата измерений аргумента X_изм. Данная производная представляет собой угол наклона касательной к функции в точке результата измерений и является коэффициентом влияния погрешности аргумента на погрешность функции.

Если косвенное измерение описывается функцией , и погрешности аргументов являются систематическими, то погрешность косвенного измерения получают суммированием погрешностей аргументов с учетом их коэффициентов влияния:

 

(5.10)

 

Если погрешности аргументов являются случайными, независимыми (некоррелированными) и распределенными по нормальному закону в заданных границах, то переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов с учетом их коэффициентов влияния :

 

(5.11)

 

Если погрешности аргументов являются случайными, независимыми (некоррелированными) и распределенными по различным законам в заданных границах, то оценка погрешности результата косвенного измерения осуществляется по выражению:

 

, где

 

(5.12)

и S_Xi – оценка СКО i− ого аргумента, а коэффициент k определяется доверительной вероятностью P и законом распределения погрешности параметра Q (см. Приложение В).

Выражения (5.11) и (5.12) справедливы, если погрешности измерений аргументов независимы, т.е. коэффициент корреляции между ними .

 

Пример 1.

Общее сопротивление участка цепи R_общ = R₁ + R₂. Результаты измерений аргументов: R₁ = 100 Ом; dR₁ = ± 1 %; R₂ = 1 Ом; dR₂ = ± 10 %. Определить результат косвенного измерения и его относительную погрешность.

Общее сопротивление R_общ = 100 Ом + 1 Ом = 101 Ом.

Погрешности аргументов будем полагать систематическими. По выражению (5.10)

.

Так как частные производные равны 1, то DR_общ = DR₁ + DR₂. Данное соотношение в относительной форме

 

.

Поскольку из выражения (3.2) следует, что DQ = Q *dQ; заменим в предыдущем выражении абсолютные погрешности

 

Подставляя в данное выражение исходные данные, получим, δR_общ= ± 1 % ± 0,1 %, т.е. не более ± 1,1 %. Таким образом R_общ = 101 Ом ± 1,1 %. В случае, если такая погрешность превышает требуемое значение, для достижения требуемой точности необходимо уменьшать погрешность dR₁ = ± 1 %.

 

Пример 2. Электрическую мощность измеряли косвенно через прямые измерения постоянного напряжения и тока: P = U*I. Результаты и погрешности измерений аргументов составили U = 100 В; dU = ± 1 %. I= 1 A; dI = ± 10 %.

Требуется определить результат косвенного измерения и его относительную погрешность.

Искомое значение мощности P = U*I = 100 В* 1 А = 100 Вт.

Погрешности аргументов также будем полагать систематическими. По выражению (5.10) Найдем частные производные С учетом данных значений перепишем выражение для погрешности в относительной форме

Таким образом, P = 100 Вт ± 11%. В случае, если такая погрешность превышает требуемое значение, для достижения требуемой точности необходимо уменьшать погрешность dI = ± 10 %.

Сравнивая примеры 1 и 2, получим следующий вывод: необходимо планировать методику косвенных измерений таким образом, чтобы ни один из аргументов, определяемый прямыми измерениями, не вносил в конечный результат погрешность, превышающую погрешности от других аргументов.

 

Пример 3. Промежуточная частота на выходе смесителя F = F₁ – F₂. Значение частоты F₁ = 105 МГц, F₂ = 100 МГц. Нестабильность частоты является величиной случайной, распределенной по нормальному закону и лежит в пределах dF₁ = dF₂ = ± 0,01 %. Необходимо оценить относительную нестабильность промежуточной частоты.

Для оценки нестабильности частоты F в абсолютной форме воспользуемся выражением (5.11)

 

.

 

Данное соотношение в относительной форме

 

.

Подставляя вместо DF = F *dF , а вместо F = F₁ – F₂ ,получим

 

Таким образом, частота на выходе смесителя F = 5 МГц ± 0,29 % при том, что dF₁ = dF₂ = ± 0,01 %.

Методы обработки результатов косвенных измерений изложены в Методических указаниях РД 50−555−85 «Измерения косвенные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей».

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Методический материал по применению ГОСТ 8.009−84 "ГСИ. Нормируемые метрологические характеристики средств измерений". − М.:Стандарты, 1988.

2 РД50−453−84. Методические указания. Характеристики погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета. − М. Стандарты, 1985.

3 МИ 1552−86. Методические указания. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей результатов измерений. −М.: Стандарты , 1987.

Приложение А

Варианты заданий

Вариант N1

Измерение длительности импульса на выходе одновибратора выполняют методом непосредственной оценки при помощи осциллографа С1−67 (рис.А.1).

 

 

1 − генератор импульсов; 2,4 − радиочастотные кабели РК50−2−11 длиной 0,8 м; 3 − объект измерений; 5 − осциллограф С1−67.

Рисунок А.1 – Схема измерений к варианту N1

 

Определить абсолютную и относительную погрешности измерний, если размер импульса на экране осциллографа по уровню 0,5Ua составил 6 делений, длительность фронта − 0,5 дел., длительность среза − 1 дел., амплитуда импульса − 5 дел., коэффициент развертки осциллографа − Кр = 100 нс/дел., коэффициент отклонения по вертикали − Кв = 1 В/дел.

Условия выполнения измерений: температура окружающей среды от + 10 до + 30 ^оС; напряжение питающей сети − от 198 до 242 В; относительная влажность воздуха − 80 %.

Параметр объекта измерений − выходное сопротивление − 150 Ом.

Нормируемые метрологические характеристики осциллографа С1−67:

− основная погрешность измерения напряжения − ≤ ± 10 % при размере изображения от 2 до 4 делений и ≤ ± 5 % при размере изображений от 4 до 7 делений;

− основная погрешность измерения временных интервалов в диапа зоне от 0,4 мкс до 0,2 мкс − не более ± 5 % при размере изображения по горизонтали в пределах от 4 до 10 делений;

− время нарастания перходной характеристики канала вертикального отклонения − ≤ 35 нс;

− входное активное сопротивление канала Y − (1 ± 0,02) МОм, входная емкость ≤ 55 пФ;

− ширина линии луча не превышает 0,6 мм;

− нелинейность развертки в пределах рабочей части ≤ 5 %;

− внутренний источник калибровочного напряжения генерирует П−образные импульсы частотой 2 кГц и амплитудой 0,6 В с погрешностью по амплитуде и частоте не более ± 2 %;

− осциллограф обеспечивает перечисленные метрологические характеристики в рабочих условиях эксплуатации : температура от −30 до +50 С; относительная влажность воздуха до 98 % при температуре +35 оС; питание прибора напряжением (220 ± 22) В, частотой (50 ± 0,5) Гц и содержанием гармоник до 5 %.

 

Вариант N2

Измерение главного параметра линии задержки − времени задержки − выполняют по схеме рис. А.2.

1−генератор Г5−75; 2,5,7 −радиочастотные кабели; 3,6 −коаксиальные тройники; 4−объект исследования; 8−оконечная нагрузка 50 Ом; 9−осциллограф С1−67.

Рисунок А.2 – Схема измерений к варианту N2

 

Методика измерений заключается в реализации метода замещения.

На первом этапе на вход Y осциллографа подают сигнал с входа линии задержки (ЛЗ) 4, подключая кабель 7 к тройниковому переходу 3, и запоминают положение импульсного сигнала на экране осциллографа (его точки a на фронте, соответствующей 0,5Ua) − см. рис. А.3.

На втором этапе кабель 5 подключают к выходу линии задержки (тройнику 6,) при этом изображение импульсного сигнала появляется на экране со сдвигом в право.

 

Рисунок А.3 – Осциллограммы к варианту N2

 

Регулируя временный сдвиг основных импульсов генератора Г5−75 относительно его синхроимпульсов, совмещают точку б фронта выходного сигнала линии задержки, соответствующую 0,5Ua, с точкой а, которая соответствовала фронту входного сигнала линии задержки.

Результат измерений считывают с отсчетного устройства генератора Г5−75.

Определить абсолютную и относительную погрешности измерений, если при коэффициенте развертки осциллографа 0,1 мкс/дел по отсчетному устройству генератора Г5−75 считано значение τ_зад = 0,64 мкс.

Условия выполнений измерений − нормальные.

Параметры линии задержки:

− входное сопротивление Rвх > 10 кОм;

− входная емкость Свх ≤ 4 пФ;

− выходное сопротивление − 600 Ом ± 10 %.

Метрологические характеристики генератора Г5−75:

− длительность фронта и среза основных импульсов − ≤ 10 нс;

− выходное сопротивление основного выхода Rвых = 50 Ом ± 1 %;

− длительность фронта синхроимпульса − не более 10 нс;

− выходное сопротивление выхода синхроимпульсов R_вых^си = 510 Ом ± 10 %;

− погрешность установки временного сдвига не превышает ± (10⁻³ D + 20 нс), где D − установленный временной сдвиг.

Метрологические характеристики осциллографа С1−67:

− входное сопротивление канала Y R_вх = (1 ± 0,02) Мом, входная емкость Свх ≤ 44 пФ;

− входное сопротивление по входу "внешн. запуск" − 50 кОм; Свх ≤ 30 пФ;

− задержка начала изображения относительно начала развертки > 30 нс ;

− нелинейность развертки ≤ ± 5 %;

− время нарастания переходной характеристики канала Y ≤ 35 нс;

− толщина линии луча b = 0,6 мм;

− основная погрешность измерений временных интервалов ≤ ± 5 % при размере измеряемого участка от 4 до 10 делений.

Длина соединительного кабеля 7 − 0,8 м; кабеля 5 − 1 м.

 

Вариант N3

При выпуске из производства антенный усилитель контролируют по коэффиценту усиления. Схема измерений представлена на рис. А.4.

 

 

1 − генератор Г4−158; 2 − кабель РК50−2 длиной 0,8 м; 3,6 − тройниковые коаксиальные переходы ; 4,7 − вольтметры ВЗ−52/1; 5−антенный усилитель (объект измерений); 8 − согласованная нагрузка.

Рисунок А.4 – Схема измерений к варианту N3

 

Определить абсолютную и относительную погрешности измерений выходного напряжения вольтметром РV2 типа ВЗ−52/1, если его показание составило 5 мВ.

Условия выполнения измерений:

− температура окружающей среды изменяется в течении года в пределах от +20 до +35 К;

− напряжение питающей сети −220 В 10%;

− время измерений коэффициента усиления (с учетом обработки и оформления результатов измерений ) − не более 0,5 час.

Параметры антенного усилителя:

− выходное сопротивление и сопротивление нагрузки −75 Ом; частота выходного сигнала − 600 МГц ;

− коэффициент гармоник − не более 3% .

Метрологические характеристики милливольтметра ВЗ−52/1:

− пределы допускаемых значений основной погрешности

%;

− пределы допускаемой погрешности в рабочей области частот в диапазоне от 300 до 600 МГц

%;

− изменение показаний прибора, вызванные отклонением температуры окружающей среды от нормальной до любой в пределах от +10 до +35 К не превышает предела допускаемой основной погрешности на каждые 10 К;

− изменение показаний прибора, вызванное изменением напряжения питания от номинального значения на ± 10% при условии коррекции нуля органами управления не превышает половины предела допускаемой основной погрешности;

− нестабильность электрического нуля не превышает:

1) половины предела допускаемой основной погрешности из−за флуктуаций;

2) предела основной допускаемой погрешности из−за дрейфа нуля за 1 час;

− входная емкость прибора не превышает 2,5 пФ;

− время установления показаний ≤ 3 с;

− изменение показаний прибора при отклонении формы измеряемого напряжения от синусоидальной не превышает

 

%,

где U_і − напряжения высших гармоник;

U₁ − напряжение первой гармоники.

 

Вариант N4

Измерения фазового сдвига, вносимого усилителем, осуществляют при помощи фазометра Ф2−13 по схеме, изображенной на рис.А.5.

 

1 − генератор Г3−112; 2,5,6 − радиочастотные кабели РК50−4 длиной 1 м; 3 − тройниковый коаксиальный переход; 4 − объект измерений (усилитель); 7 − фазометр Ф2−13.

Рисунок А.5 – Схема измерений к варианту N4

 

Определить абсолютную и относительную погрешность измерений фазового сдвига , вносимого усилителем на частоте 50 кГц, если на поддиапазоне измерений 100 показание фазометра составило 60 ^о.

Условия выполнения измерений: температура −30⁰С; напряжение питающей сети U = 220 В ± 10%.

Параметры усилителя:

− коэффициент усиления по напряжению К =10;

− коэффициент нелинейных искажений 3%;

− входное сопротивление 100 кОм;

− входная емкость 100 пФ;

− выходное сопротивление = 600 Ом ± 10%;

− уровень выходного напряжения −5 В.

Метрологические характеристики генератора Г3−112:

− номинальное значение выходного сопротивления − 50 ± 0,5 Ом;

− коэффициент гармоник не превышает 0,3% на частотах от 100 Гц до 100 кГц;

− нестабильность частоты не превышает 4x10^-4 за 15 мин. работы.

Метрологические характеристики фазометра Ф2−13:

− основная погрешность фазометра при равных условиях сигнала и нестабильности частоты не более 10^-3 не превышает значения

(0,015φ_изм +0,5⁰), при неравных − (0,015φ_изм +0,5⁰+ 0,075А), где А(дБ); − отношение уровней входных напряжений в диапазоне от 0,1 В до 10 В;

− дополнительная погрешность за счет нелинейных искажений

 

Δφ_доп = 1,6 arctg K_ни /100,

 

где K_ни − значение коэффициента нелинейных искажений;

− дополнительная погрешность при изменении температуры не превышает половины основной погрешности на каждые 10 ⁰С;

− входное сопротивление R_вх ≥ 1 МОм;

− входная емкость С_вх ≤ 100 пФ.

Фазометр обеспечивает перечисленные характеристики при напряжении питания 220 В ± 10 % , частотой 50 Гц ± 1 %.

 

Вариант N5

Измерение коэффициента передачи СВЧ делителя мощности выполняли косвенно по схеме , представленной на рис. А.6.

 

1 − генератор ГЧ−80; 2,4 − радиочастотные кабели РК50−4−11;

3 −объект измерений; 5 − ваттметр МЗ−51.

Рисунок А.6 – Схема измерений к варианту N5

 

Методика измерений заключалась в подаче опорного уровня мощности, равно 10 Вт, от генератора на делитель мощности, измерении мощности на выходе делителя при помощи ваттметра и вычислении коэффициента передачи по выражению:

К_Р = φ_М3-51/Р_оп,

 

где φ_М3-51 − показание ваттметра МЗ−51, Р_оп − опорный уровень мощности, установленнный на выходе генератора.

Определить абсолютную и относительную погрешность измерений коэффициента передачи, если показание ваттметра на поддиапазоне 10 мкВт составило 5 мкВт.

Объект измерений характеризуется следующими параметрами:

− рабочее значение частоты входных сигналов (3 ± 0,2) ГГц.

− КСВН входа и выхода делителя не превышает 1,5 при номинальном сопротивлении входа и выхода 50 Ом.

Генератор Г4−80 характеризуется следующими метрологическими характеристиками:

− пределы регулирования выходной мощности − 10⁻⁴ − 10⁻¹⁵ Вт;

− основная погрешность установки опорного уровня мощности 10⁻⁴ Вт не более ± 0,8 дБ;

− дополнительная погрешность установки опорного уровня мощности при изменениии температуры на каждые 10 ⁰С не превышает ± 0,3 дБ;

− нестабильность опорного уровня мощности за 15 мин. не превышает ± 0,1 дБ;

− сопротивление выхода генератора 50 Ом при КСВН выхода не более 1,75.

Ваттметр поглощаемой мощности МЗ−51 характеризуется следующими метрологическими характеристиками :

− основная погрешность измерений мощности

%;

− коэффициент эффективности входного измерительного преобразователя К_эфф = 0,98 ± 0,03;

− КСВН входа измерительного преобразователя ≤ 1,3;

− время установления показаний ≤ 6 с.

Условия выполнения измерений коэффициента передачи: температура окружающей среды − (25 ± 5) ⁰С.

Приложение Б