Главная | Обратная связь

Нормальне рівняння площини

Нормальне рівняння площини має вигляд:

(9)

У рівнянні (9) – координати одиничного вектора, який проведено із початку координат перпендикулярно до площини, кути — кути, які утворює цей вектор відповідно з координатними осями, — довжина перпендикуляра, проведеного із початку координат до цієї площини (рис. 6).

Для приведення загального рівняння площини до нормального вигляду необхідно його помножити на нормуючий множник:

(10)

 

Знак нормуючого множника береться протилежним до знака вільного члена .

 

Відстань від точки до площини

Відстань від точки до площини є довжиною перпендикуляра, опущеного із цієї точки на площину. Вона обчислюється за формулою:

(11)

Правило. Щоб визначити відстань від точки до площини , треба дане рівняння площини привести до нормального вигляду, потім у ліву частину одержаного рівняння підставити замість змінних координат координати даної точки. Абсолютна величина одержаного числа і буде шуканою відстанню.

 

 

Взаємне розташування двох площин в просторі

Задано дві площини рівняннями:

(12)

Складемо матриці виду:

та .

Нехай і – ранги відповідно матриць та (причому ).

Можливий один із наступних випадків:

1) . В цьому випадку та система рівнянь (12) має нескінченну множину розв’язків і площини перетинаються по прямій (рис. 7).

2) , . В цьому випадку система рівнянь (12) не має розв’язків і тому площини паралельні (рис. 8).

3) . За цих умов рівняння (12) рівносильні і, отже, вони є рівняннями однієї і тієї ж площини (рис. 9).

 

Взаємне розташування трьох площин в просторі

Три площини в просторі можуть бути розташовані наступним чином:

 

мають одну спільну точку (рис. 10) пучок площин (рис. 11)

 

 

попарний перетин по перетин по двох прямих (рис. 13)

трьох прямих (рис. 12)

паралельні площини (рис. 14) дві співпадають, третя перетинає (рис.15)

дві співпадають, третя паралельна (рис. 16) співпадають (рис. 17)