Кут між двома площинами

Кут між двома площинами визначається як кут між нормальними векторами цих площин. Нехай площини задано загальними рівняннями і

тоді нормальним вектором першої площини буде вектор , а другої – . Косинус кута між цими векторами, а значить і між площинами, обчислюється за формулою:

(13)

Умова перпендикулярності двох площин збігається з умовою перпендикулярності векторів і та має вигляд:

(14)

Умова паралельності двох площин збігається з умовою колінеарності векторів і та має вигляд:

(15)

Умова співпадіння двох площин має вигляд:

Пучок площин

Пучком площинназивається сукупність площин, які проходять через спільну пряму. Ця пряма називається віссю пучка.

Нехай пряма задана двома площинами, що перетинаються:

(16)

Якщо помножити ці рівності відповідно на числа і , які не дорівнюють нулю одночасно, а результати додати, то отримаємо нову рівність виду:

(17)

Перегрупувавши члени рівняння (17) відносно , одержимо

(17’)

В рівності (17’) коефіцієнти , , одночасно не можуть перетворюватись на нуль, так як в протилежному випадку було б

тобто

а так як і одночасно не дорівнюють нулю, то або – певне число і, отже,

що суперечить умові про те, що дані площини перетинаються. Рівняння (17) є рівнянням деякої нової площини. Координати будь-якої точки прямої, що одержується при перетині площин, що задані рівняннями (16), задовольняють також і рівнянню (17), так як в цьому рівнянні вирази, що стоять в дужках, при підстановці в них координат цих точок перетворяться в нуль. Отже, площина (17) буде проходити через пряму перетину площин (16). При різних значеннях ми будемо отримувати різні площини, що проходять через одну й ту ж пряму.

Розділивши рівняння (17) на і позначивши , одержимо рівняння виду

(18)

Рівняння (18) є рівнянням пучка площин, що задається двома площинами цього пучка.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒