Главная | Обратная связь

Методы численного интегрирования

Системы нелинейных дифференциальных уравнений состояния феррорезонансных схем рассчитываются с помощью приближенных методов численного интегрирования. Известны различные методы численного интегрирования, однако их эффективность для расчета определенного класса задач может сильно отличаться. Эффективность конкретного метода зависит от достаточной точности численного решения и требуемого для расчета времени. Эти два фактора тесно взаимосвязаны, так как увеличение точности влечет за собой увеличение времени расчета. Исходя из этого определяются методы численного интегрирования, имеющие оптимальное сочетание указанных факторов при расчете феррорезонансных схем.

Точность численного решения и рассчетное время во многом зависят от выбора шага интегрирования, порядка локальной ошибки и численной устойчивости метода. Под численной устойчивостью метода понимается свойство уменьшения локальной ошибки при переходе к следующему шагу интегрирования. Наиболее оптимальный порядок локальной ошибки для расчета рассматриваемого класса схем имеют методы четвертого порядка. Выбор шага интегрирования и численная устойчивость метода зависят от математического описания уравнений состояния.

Рассматриваемые системы уравнений состояния феррорезонансных схем относятся к "жестким" нелинейным системам, так как они имеют производные, изменяющиеся с большой и малой скоростью, отличающейся на несколько порядков. Для численного решения подобных уравнений используются неявные методы численного интегрирования, позволяющие в широком диапазоне изменять шаг интегрирования при переходе к участкам сдругой скоростью изменения решения, сохраняя при этом численную устойчивость. Неявные методы численного интегрирования с данной точки зрения по сравнению с явными являются более предпочтительными. При использовании неявных методов можно выбирать шаг интегрирования достаточно большим, исходя только из условий получения необходимой точности. В этом случае на каждом шаге решается система нелинейных алгебраических уравнений.

К настоящему времени не существует общих методов решения "жестких" нелинейных систем дифференциальных уравнений. Можно оценить численную устойчивость метода интегрирования и спрогнозировать его поведение только при расчете систем линейных дифференциальных уравнений. Поэтому, круг выбора ограничивается методами расчета "жестких" систем линейных уравнений и на основании результатов вычислительных экспериментов определяются наиболее оптимальные из них.

Требованиям, предъявляемым к методам решения "жестких" систем уравнений, удовлетворяют неявные алгоритмы Адамса-Мултона и неявные многошаговые алгоритмы Гираразличных порядков.

Достаточно высокую устойчивость имеют численные методы прогноза-коррекции. При этом прогнозируемое значение на следующем шаге интегрирования сначала определяется по явному одношаговому или многошаговому методу, а уточненное (корректирующее) значение - по неявному методу интегрирования. Например, прогноз осуществляется по методу Адамса-Бешфорта, а коррекция - по методу Адамса-Мултона.

В результате вычислительных экспериментов в работе определено, что лучшую совокупность факторов: точность и время расчета - имеют методы Адамса-Мултона и методы Гира четвертого порядка. В качестве метода численного интегрирования феррорезонансных схем выбран метод Адамса-Мултона, имеющий наилучшие указанные показатели.