 |
|
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
РЯДЫ
методические указания для студентов заочной формы обучения
Составитель О.А. Сергеева
Томск - 2007
Ряды: методические указания / сост. О.А. Сергеева. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун.-та, 2007. – 35 с.
Рецензент к. ф.-м. н. Т.А. Шалыгина Редактор Е.Ю. Глотова
Методические указания по высшей математике для студентов второго курса заочной формы обучения к выполнению контрольной работы по теме «Ряды».
Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики № 3 от 14 ноября 2007 г.
Утверждены и введены в действие проректором по учебной ра- боте В. В. Дзюбо
с 08.01.08
до 08.07.13
Подписано в печать
Формат 60×84/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс. Печать офсет.
Уч. изд. л. 1,84. Тираж 250 экз. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 10
ВВЕДЕНИЕ
ниях.
Ряды широко используются в математике и в её приложе-
Учение о рядах возникло в 17-м веке. Свойства простей-
ших рядов, начиная с геометрических прогрессий, возникаю- щих из представления обыкновенных дробей в виде периодиче- ских десятичных, изучил английский математик Джон Валлис (1685).
Немецкий математик Николаус Меркатор, интегрируя
разложение
1 + x
= 1 − x + x2 − x3 + ..., получил разложение лога-
|
ln (1+ x) = x −
– первый
(после геометрической прогрессии) пример степенного разло- жения (1668).
Исаак Ньютон вывел формулу бинома для любого показа- теля α . Интегрируя разложение (1 − x2 )−1 / 2 , он получил разло-
жение для arcsin x .
В развитии учения о рядах приняли участие почти все ма- тематики 17-го века (Грегори, Гюйгенс, Лейбниц, Бернулли и др.).
Для преодоления трудностей, связанных с интегрировани- ем, Ньютон и Лейбниц выражали подинтегральную функцию в виде многочлена с бесконечным числом слагаемых. Применяя к таким выражениям обычные правила алгебры, математики 18-
го века сделали множество замечательных открытий. Однако обнаружилось, что к бесконечным суммам не всегда можно применять правила, справедливые для выражений, содержащих конечное число слагаемых, это могло привести к ошибкам. Ста- ло необходимым точно сформулировать основные понятия и строго доказать свойства бесконечных рядов. Эта задача решена в 19-м веке.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Определение сходимости и суммы ряда. Необходимое усло- вие сходимости ряда.
2. Признаки сходимости Д'Аламбера и Коши.
3. Признаки сравнения.
4. Интегральный признак сходимости ряда.
5. Признак сходимости знакочередующегося ряда.
6. Равномерная сходимость функционального ряда.
7. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
8. Признаки сходимости функциональных рядов.
9. Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора.
10. Условия разложимости функций в ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Пусть задана бесконечная числовая последовательность –
{an }. То есть числовая функция, определенная на множестве
натуральных чисел – N .
Числовая последовательность определена, если задан за- кон, по которому каждому натуральному числу n ставится в
соответствие действительное число
an . Числовая последова-
тельность обозначается символом {an }.
Составленная из этих чисел сумма a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
называется числовым рядом, а числа
ми ряда.
a1, a2 , a3 , ..., an , ...
– члена-
Используя символ суммы, пишут:
∞
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an ,
n =1
где an
– общий член ряда, индекс n пробегает все значения от
0 до ∞ . Иногда нумерацию членов ряда бывает удобнее начи- нать не с единицы, а с нуля или же с какого-либо натурального числа, большего единицы.
Составим суммы следующего вида, складывая члены ряда:
S1 = a1 ;
S2 = a1 + a2 ;
S3 = a1 + a2 + a3 ;
…………………
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an .
Полученная числовая последовательность {Sn } называет-
ся последовательностью частичных сумм ряда
∞
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑ an . Сумма Sn
n =1
конечного числа n
первых членов ряда называется n -й частичной суммой ряда.
Конечный или бесконечный предел S частичных сумм
∞
ряда
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑an
n =1
при
n → ∞
S = lim Sn n→∞
называют суммой ряда.
Если эта сумма конечная, то его называют сходящимся
рядом, если же сумма ряда равна ± ∞
то ряд называют расходящимся.
или её не существует,
Таким образом, вопрос о сходимости числового ряда
∞
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑an
n =1
по определению равносилен во-
просу о существовании конечного предела последовательности частичных сумм ряда.