Главная | Обратная связь

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

 

1―10. Найти сумму ряда:

∞

1. ∑

n =1

∞

2. ∑

n = 2

∞

1 .

n2 + 3n + 2

3 .

n2 − n − 2

3. ∑

n =1

∞

4. ∑

.

n2 + 2n

.

3

2

 

n = 2

∞

n + n − 2

5. ∑

n = 2

∞

6. ∑

.

n2 − 1

.

1

2

 

n =1

∞

7. ∑

n =1

∞

8. ∑

n =1

∞

9. ∑

n =1

∞

10. ∑

n =1

n + 5n + 6

1 .

n2 + 7n + 12

1 .

n2 + 8n + 15

2 .

n2 + 4n + 3

3 .

n2 + 5n + 4

11―20. Исследовать ряды на сходимость:

∞

11. а) ∑

n + 1 ;

n n

n =1 2 !

 

∞  1 n 1

б) ∑ 1 + 

n =1  n 

3n ;

∞

в) ∑

n =1

n2

.

n4 + 2

∞

12. a) ∑

n = 2

(n + 1)

2n (n − 1)! ;

∞

n 2

б) ∑  2n +2  ;

n =1

∞

 

 3n + 1 

в) ∑

n =1

∞

(2n + 1)2 − 1 .

n2

13. а) ∑

n =1

 

(n +

2)! ;

∞

б) ∑

n = 2

∞

n (ln n)2 ;

в) ∑

n =1

∞

n +1 .

n3 − 3

3n

14. а) ∑

n =1

∞

 

(n + 2)

! 4n ;

б) ∑

n =1

3n +1 ;

n3 + 1

∞  n + 2 n 1

в) ∑ 

n =1 

 .

n  5n

n 2

∞  n + 1 1

15. а) ∑  

n =1  n 

2n ;

∞ 3n n !

б) ∑

( n) ;

n =1 3 !

n

∞ 3

e

в) ∑ n .

n =1

∞

16. а) ∑

n =1

∞

n 3n + 2

;

5n

б) ∑

n + 1 ;

3 2

n =1 n + 2n + 1

∞

в) ∑

n =1

 

∞

n3

(2n)! .



n 2

17. а) ∑

2n 

 ;

n =1  4n + 3 

∞

б) ∑

n ;

n ( )

n =1 3

n + 1

∞

в) ∑

n =1

 

∞

(n + 1)n

(n + 1)! .

n 2

18.



а) ∑ 2n

+ 3 

 ;

n =1 

∞

n + 1 

nn +1

б) ∑

n =1

∞

в) ∑

n =1

(n + 1)! ;

n + 1 .

n3 + 4

∞  1 n 1

19. а) ∑ 1 + 

n =1  n 

3n ;

∞

б) ∑

n 2 +1

;

 

n =1

n5 + 4n3

+ 2n

∞

в) ∑

2n (n + 1)!

n .

n =1

3 n !

∞

20. а) ∑

n =1

∞

5n

(n + 1)! 6n ;

n3

б) ∑

n =1

 

n6 + 2n5

 

+ n4

;

+ n3 + 7

∞

n 2

в) ∑  5n + 1  .

n =1

 

 3n + 2 

21―30. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды:

∞ n +1 n

21. ∑ (− 1)

 n 

  .

 

n =1

∞

 

 

n +1

 3n + 1

2n + 1

22.

∑ (− 1)

n =1

n (n + 1) .

n

 

23.

∞

∑ (− 1)n

n =1

+1 





n 

. 2n + 1

 

24.

 

 

25.

∞

∑

n =1

∞

∑

n =1

∞

(− 1)n +1 2n2

.

n4 − n2 + 1

(− 1)n −1

(n + 1) (3 / 2)n .

(− 1)n

26.

∑

n =1

 

(n + 1)

.

ln n

 

27.

∞

∑

n =0

(− 1)n

(2n + 1) 22n +1 .

 

28.

∞

∑ (− 1)n

2n − 1 .

n =1 3n

∞ n 3n2

29.

∑ (− 1)

n =1

.

n5 − n3 + 1

 

30.

∞

∑

n =1

(− 1)n

(n + 3) (4 / 5)n .

31―40. Найти область сходимости функционального ряда:

∞ (− 1)n (x − 2)n

31. ∑

n =1

(n + 1) 4n .

∞ (n − 2)3 (x + 3)2n

32.

 

 

33.

∑

n =1

∞

∑

n =1

 

(2n (x − 1)2n

n 9n

+ 3) .

 

.

 

34.

∞ (x − 2)n

∑ ( ) n .

 

n =1

3n + 1 2

 

35.

∞

∑

n =1

∞

(x + 5)2n −1

4n (2n − 1) .

(x − 5)2n +1

36.

∑

n =1

∞

 

. 3n + 8

(x − 3)n

37.

∑

n =1

(n + 1) 5n .

∞ (x − 4)2n

38.

∑

n =1

 

(n +

1)2n .

 

39.

∞

∑

n =1

(x − 7)2n −1

(2n2 − 5n)4n .

 

40.

 

∞

∑

n =1

(x − 3)2n +1

. 2n + 1

41―50. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x :

41. f (x) =

 

42. f (x) =

 

43. f (x) =

 

44. f (x) =

 

45. f (x) =

 

46. f (x) =

 

47. f (x) =

 

48. f (x) =

1 .

3 − x

1 .

3 + x

1 .

4 + x

1 .

1 − x

1 .

5 − x

1 .

6 − x

1 .

2 + x

1 .

4 − x

49. f (x) = (3 − 2x) .

50. f (x) = 1 .

(2 − 3x)

51―60. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

51. f (x) = π −x

2

в интервале (− π; π).

52. f (x) = x

в интервале (− π; π).

53. f (x) = x 2 в интервале (0; 2π).

54. f (x) = x + 1 в интервале (− π; π).

55. f (x) = 1 + x

56. f (x) = 1 − x

в интервале (− 1; 1).

в интервале (− 2; 2).

57. f (x) = x 2 + 1 в интервале (− 2; 2).

58. f (x) = x − 2 в интервале (− 2; 2).

59. f (x) = 1 − x

60. f (x) = 2 − x

в интервале (0; 2).

в интервале (− 2; 2).

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное ис- числение / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1997, т. 1, 2 – 551 с.

2. Данко, П.Е. Высшая математика в управлениях и зада- чах ч. 1, 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, – 256 с.

3. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике

/ Л.А. Кузнецов. – М.: Высшая школа, 1983. – 175 с.

4. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике для инже- неров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

5. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1986. – 871 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

Введение………………………………………………………..….3 Вопросы для самопроверки…..…………………………………..4 Основные понятия. Числовые ряды………..…………………….4 Критерий Коши сходимости числового ряда……………………6 Признаки сходимости положительных числовых рядов………..7 Признаки сравнения……………………………………………….7 Предельный признак Д'Аламбера………………………………...8 Предельный признак Коши……………………………………….8 Интегральный признак Маклорена―Коши………………………9 Ряды с произвольными членами………………………………….9 Функциональные ряды…………………………………………...10 Степенные ряды…………………………………………………..11 Разложение функции в степенной ряд. Ряд Фурье……………..13 Ряды Фурье………………………………………………………..15 Теорема Дирихле…………………………………………………17 Пример выполнения контрольной работы……………………...19 Задачи для контрольных заданий……………………………….28 Список рекомендуемой литературы………………….…………34