 |
|
Критерий Коши сходимости числового ряда
Числовой ряд сходится тогда и только тогда, когда для
любого ε >0 найдётся такое натуральное число N , что для всех
n ≥ N
и любого натурального k выполняется неравенство:
n + k
∑ as
s = n +1
= an +1 + an + 2 + + an + k
< ε .
Отсюда сразу получается необходимый признак сходимо-
сти ряда: общий член an
сходящегося ряда должен стремиться
к нулю: lim an
n→∞
= 0 .
Если же общий член ряда не стремится к нулю при
n → ∞ , то ряд расходится.
Если в ряде
∞
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∑an
n =1
отбросить
первые n членов ряда, то получится ряд
∞
an +1 + an + 2 + + =
∑ as , который называется остатком ряда
s = n +1
и обозначается
Rn .
Рассмотрим вопрос об установлении сходимости или рас- ходимости числовых рядов, члены которых неотрицательны, для краткости такие ряды называются положительными.
Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда по- следовательность его частичных сумм ограничена сверху.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Признаки сравнения
Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путём сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся.
∞
1. Пусть даны два положительных ряда ∑an
n =1
∞
и ∑ bn .
n =1
Если существует натуральное число N , такое, что неравенство
∞
an ≤ bn выполнено для всех
∞
n ≥ N , то из сходимости ряда ∑bn
n =1
∞
следует сходимость ряда ∑ an , а из расходимости ряда ∑an
n =1
∞
следует расходимость ряда ∑ bn .
n =1
2. Если существует конечный предел
∞
lim an n→∞ bn
n =1
= K , то из
сходимости ряда ∑ bn , при
n =1
∞
K ≤ ∞ следует сходимость ряда
∞
∑ an , а из расходимости ряда ∑bn
следует расходимость ря-
n =1
∞
n =1
да ∑ an .
n =1
Таким образом, при 0 < дятся одновременно.
K < ∞ , оба ряда сходятся или расхо-
3. Если существует натуральное число N , такое, что не-
равенство
an ≤an+1
bn bn+1
∞
выполняется для всех
n ≥ N , то из сходи-
∞
мости ряда ∑ bn следует сходимость ряда ∑ an , а из расходи-
n =1
∞
n =1
∞
мости ряда ∑an
n =1
следует расходимость ряда ∑ bn .
n =1
Предельный признак Д`Аламбера
Если последовательность
an
, построенная из членов
bn
∞ a
ряда ∑ an , (an. > 0) имеет предел,
→∞ b
= p , то при p <1 ряд
n =1
∞
lim n
n
n
∞
∑ an
n =1
сходится, а при p >1 ряд ∑an
n =1
расходится. При p =1
предельный признак Д`Аламбера не даёт ответа на вопрос, схо- дится данный ряд или расходится.