 |
|
Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
Степенные ряды во многом сходны с многочленами, и это делает их удобным средством для приближённых вычислений. В связи с этим очень важен вопрос о возможности разложения
заданной функции по степеням (x − x0 ) , в частности, по степе-
ням x , то есть представления её в виде суммы рядов
|
∑ an (y − y0 )
∞
или ∑an
=0
xn .
n
Предположим, что функция
f (x)
в некоторой окрестно-
сти точки
x0 дифференцируема любое число раз. Тогда для всех
x , удовлетворяющих условию Тейлора:
x − x0
< r , имеет место формула
f (x) =
f (x ) +
f ′ (x0 ) (x − x ) +
f ′ (x0 ) (x − x )2 +
0 1! 0 2 ! 0
f (n) (x ) n
| |
(x − x0) n !
+ rn (x),
где
rn (x) остаточный член в формуле Тейлора. При этом n мо-
жет быть сколь угодно большим, то есть это разложение можно доводить до сколь угодно высоких степеней (x − x0 ) .
Это, естественно, приводит к мысли о бесконечном раз- ложении:
f (x) =
f (x ) +
f ′ (x0 ) (x − x ) +
f ′ (x0 ) (x − x )2 +
0 1!
f (n) (x ) n
0 2 ! 0
| |
| |
(x − x0) n !
+ = ∑
n =0
(x − x0 ) .
n !
Такой ряд, независимо от того, сходится ли он и имеет ли на
самом деле своей суммой
f (x) , называется рядом Тейлора для
функции f (x) . Его коэффициенты:
f ′ (x0 )
f ′(x0 )
( n )
f
(x0 )
a0 =
f (x0 ) ,
a1 = 1! ,
a2 = 2 ! , …,
an = n ! , … носят
название коэффициентов Тейлора.
Чаще всего приходится иметь дело со случаем, когда
x0 =
0, и
f (x) разлагается в ряд по степеням x :
f (x) =
f (x0 ) +
f ′ (x0 ) x+
1!
f ′ (x0 ) x2 + +
2 !
f (n)
n
(x0 )
!
xn + .
Этот ряд обычно называют рядом Маклорена.
Перейдём к конкретным разложениям функций в ряд Ма- клорена:
x x2 xn
∞ xn
|
1! 2 ! n ! n !
x3 x5
n =0
n −1
x2n −1
∞ (− 1)n
x2n +1
sin
x = x
− + +
3 ! 5 !
+ (− 1) (2n − 1)! +
= ∑
n =0
(2n + 1)! ;
x2 x4
2n ∞
|
(− 1)n
x2n
|
2 ! 4 ! 2n
+ = ∑
|
(2n)! .
Все эти разложения справедливы для ∀ x ∈ (− ∞; + ∞).
| |
| |
− ... + (−1)n−1
x2n−1
+ ... =
3 5 2n −1
∞
= ∑
n =1
(− 1)n −1 x2n −1
(2n − 1) ;
x ∈ [− 1; 1].
3 n
∞ n −1 n
ln (1 + x) = x − x
+ x − ...(− 1)n −1 x
3 n
+ ... = ∑ (− 1)
n =1
x ; x ∈ (− 1; 1].
n
(1 + x)m = 1 + m x + m (m − 1) x2 + ... + m (m − 1)...(m − n + 1) xn + ... ;
2 ! n !
x ∈ (− 1; 1) .
Здесь m – любое действительное число ( m ≠ 0 , m отличное от всех натуральных чисел, так как при натуральном значении m получается известное конечное разложение по формуле Ньюто- на). Этот ряд называют биномиальным рядом, а его коэффици- енты называются биномиальными коэффициентами.
Ряды Фурье
В науке и технике приходится иметь дело с периодиче- скими явлениями, то есть с явлениями, которые воспроизводят- ся в прежнем виде через определённый промежуток времени T , называемый периодом (работа двигателя внутреннего сгорания, переменный ток и т. д.). Различные величины, связанные с рас- сматриваемым периодическим явлением, по истечении периода T возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции, характеризуемые ра-
венством φ (x + T ) = φ (x).
Простейшей из периодических функций, удовлетворяю-
щих этому условию, является функция
A sin (ωt + α), где A , α –
постоянные; ω ― частота, связанная с периодом T соотношени-
ем ω = 2π .
T
Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие си-
нусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты не даёт ничего нового. Если же сложить несколько величин вида:
y0 = A0 ,
y1 = A1 sin (ωt + α1 ),
y2 = A2 sin (2ωt + α2 ) ,
y3 = A3 sin (3ωt + α3 )...
с частотами
ω, 2ω, 3ω
и периодами
T , T
2, T
3 , то получится периодическая функция с периодом
T , но уже существенно отличная от величин
y0 = A0 ,
y1 = A1 sin (ωt + α1 ),
y2 = A2 sin (2ωt + α2 ),
y3 = A3 sin (3ωt + α3 )...
Можно ли данную периодическую функцию
f (x)
пред-
ставить в виде суммы конечного или бесконечного множества
величин вида
y0 = A0 ,
y1 = A1 sin (ωt + α1 ),
y2 = A2 sin (2ωt + α2 ),
y3 = A3 sin (3ωt + α3 )... ?
Для того, чтобы установить возможность тригонометри-
ческого разложения для заданной функции
f (x)
с периодом
2π , в ряд по тригонометрическим функциям вида
∞
|
2 n =1
cos nx + bn
sin nx), нужно исходить из опреде-
|
a0 , a1,b0 ,b1,..., an ,bn ,.... Приведём
|
|
− π
f (x) cos nx dx , (n = 0, 1, 2, ...);
1 π
|
− π
f (x) sin nx dx , (n = 1, 2, 3 ...) .
∞
Ряд вида
f (x) = a0 + ∑(a
cos nx + bn
sin nx)
называется
|
рядом Фурье для функции
f (x) ;
an , bn
коэффициентами Фурье
функции
f (x) .
Теорема Дирихле
Пусть
f (x)
удовлетворяет в интервале (− π; π)
так назы-
ваемым условием Дирихле:
а) интервал (− π; π)
тервалов, в которых
можно разбить на конечное число ин-
f (x) непрерывна и монотонна;
б) если
x0 является точкой разрыва функции
f (x) , то суще-
ствуют односторонние пределы
f (x0 + 0) и
f (x0 − 0).
Тогда ряд Фурье функции равенство:
f (x)
сходится, и имеет место
a k
| |
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx) =
k →∞ 2
f(x),
n =1
если
f (x) непрерывна;
= f (x + 0) + f (x − 0)
,
если f (x) разрывна.
2
Если представить функцию
f (x)
периодически продол-
женной с периодом 2 π на всю числовую ось, то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех x .
Если раскладываемая в ряд Фурье функция имеет период 2 l , то рассматривают интервал (− l; l ). При этом коэффициенты
ряда Фурье вычисляются по формулам:
l
|
−l
1 l
f (x) cos nπx
l
nπx
dx , (n = 0, 1, 2, ...);
bn =
∫ f (x) sin
|
|
dx , (n = 1, 2, 3, ...).
Ряд Фурье функции
f (x) имеет вид:
a ∞
nπx
nπx
|
n =1
cos
l
+ bn
sin .
l
Если
f (x)
в интервале (− π; π) ― чётная функция, то есть
выполняется равенство находятся по формулам:
2 π
f (− x) =
f (x) , то коэффициенты Фурье
|
f (x) cos nx dx , ( n = 0, 1, 2, .... );
bn = 0.
При этом ряд Фурье функции
∞
f (x) имеет вид:
|
2 n =1
cos nx .
Если
f (x)
нечётная функция, то есть выполняется равен-
ство
f (− x) = − f (x) , то коэффициенты Фурье находятся по
формулам:
an = 0 ;
2 π
|
f (x) sin nx dx .
При этом ряд Фурье для функции
∞
f (x) = ∑ bn sin nx .
n =1
Разложение на интервале (0; π) .
f (x) имеет вид:
Если функция f (x)
задана на интервале (0; π)
и удовле-
творяет условиям теоремы Дирихле, то её можно разложить в
∞
ряд по косинусам вида
f (x) = a0 + ∑a
cos n x
или в ряд по
|
∞
синусам вида
f (x) = ∑ bn sin n x . Оба ряда в интервале (0; π)
n=1
дают значение функции
f (x)
в точках непрерывности функции
и величину
f (x + 0) + f (x − 0) 2
в точках разрыва функции
f (x) . Однако вне промежутка (0; π)
эти разложения описыва-
ют разные функции. Ряд по косинусам даёт такую функцию,
которая получается из функции
f (x)
путём чётного продолже-
ния на соседний интервал (− π; 0)
и периодического продолже-
ния с периодом
2π вне этого интервала (− π; π). Ряд по синусам
даёт такую функцию, которая получается из
f (x)
путём нечёт-
ного продолжения на интервал (− π; 0)
и периодического про-
должения с периодом 2π вне интервала (− π; π).
Если
f (x)
задана на интервале (0; l ), то формулы для вы-
числения коэффициентов записываются в следующем виде:
l
a = 2 ∫ f (x) cos nπx
dx ;
b = 0 .
|
|
2 l nπx
an = 0 ,
bn = l
∫ f (x) sin
|
dx .
Тогда ряд Фурье принимает вид:
∞
f (x) = a0 + ∑a
|
nπx , или
2 n =1
∞
f (x) =
∑ bn n =1
sin nπx .
l