Здавалка
Главная | Обратная связь

Предельный признак Коши




Если


lim n an n→∞

 


= q , то при q <1 ряд ∑an

n =1


сходится, а при


q >1 ряд ∑an

n =1


расходится. При q =1 предельный признак Ко-


ши не даёт ответа на вопрос, сходится данный ряд или расхо- дится.


Интегральный признак Маклорена―Коши

∞ ∞


Пусть дан ряд вида ∑ an ≡ ∑


f (n) , где


f (n) ― значение


 

некоторой функции


n =1

f (x) , при


n =1

x = n , определённой при


 

x n0 .


Если


f (x)


положительная и монотонно убывающая функция,


то ряд ∑ an сходится тогда и только тогда, когда сходится не-

n =1


собственный интеграл ∫

n0


 

f (x) dx .


Ряды с произвольными членами

Ряд называется знакочередующимся, если его члены яв- ляются поочерёдно положительными и отрицательными. Такой ряд записывается в виде:

n +1


n
∑ (− 1)

n =1


an = a1


a2


+ a3


+  + (− 1)n −1 a


+  , где


an > 0


для


любого n .

Для исследования знакочередующихся рядов применяют признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда по абсолютной величине монотонно не возрастают:


an +1 ≤ an , ∀ n N

 

дится.


и lim an n→∞


= 0 , то знакочередующийся ряд схо-


 

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Ряд ∑ an называется абсолютно сходящимся, если схо-

n =1


дится ряд ∑

n =1


an , составленный из абсолютных величин членов


исходного ряда.


Ряд ∑ an называется условно сходящимся, если он схо-

n =1


дится, а ряд ∑an

n =1


 

расходится.


Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и в обыч-


ном смысле, то есть из сходимости ряда ∑an

n =1


следует сходи-


мость ряда ∑ an .

n =1

Таким образом, чтобы исследовать сходимость знакочередую-

щегося ряда, прежде всего исследуют сходимость ряда ∑ an с

n =1

помощью признаков, приведённых выше. Если сходится ряд

∞ ∞ ∞


an , то сходится и ряд ∑ an . Если ряд ∑


an , расходится,


n =1


n =1


n =1


то о сходимости ряда ∑ an ничего сказать нельзя.

n =1

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.