Главная | Обратная связь

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

 

∞

1. Найти сумму ряда: ∑

n =1

4 .

n2 − n − 3

Для нахождения суммы ряда знаменатель ( n2 − n − 3 ) об- щего члена ряда разложим на множители и представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

4 = 4 = A + B = An −3 A +Bn +B

 

n2 + 2n − 3

(n + 1) (n − 3)

 

n + 1

 

n − 3

(n + 1) (n − 3) .

Для нахождения коэффициентов A и B используем теорему о равенстве двух многочленов:

A + B = 0

 ;

− 3A + В = 4

4 A = −4 ,

A = −1 ,

B = 1 ;

∞ 4 ∞  1 1 

∑

n = 4

 

n2 − 2n

= ∑ 

− 3 n = 4 n

−

– 3 n

 .

+ 1

Составим частичную сумму

Sn :

 1   1

1   1

1   1

1   1

1   1 1 

Sn = 1 −

 +

−  +  −

 +

− + 

−  +  −  +

 5 

 1 1 

 2 6 

 1

 3 7 

1 

 4 8  5

1 1 1

9  6

10 

+  −

 + ... + 

−  = 1+

+ + − ... +

 7 11

 n − 3

n + 1

2 3 4

+ 1 −

n − 2

n − 1

− 1−

n

1 .

n + 1

Вычислим



 

 

1 1 1 1

 

 

1 1 1 

 

 

1 1 1

lim Sn n→∞

= lim 1 + + +

n→∞  2 3

−

4 n − 2

– −

n − 1 n

∞

−  = 1 + + + =

n + 1 2 3 4

= 25 = 2 1

12 12

, следовательно, ряд ∑

n = 4

n2 − 2n − 3

 

сходится, и его

сумма равна 2 2 .

2. Исследовать ряды на сходимость:

∞

а) ∑

n =1

n ! .

nn

n

Закрепим использование признака Д`Аламбера:

lim an +1

(n +1)! n n

lim

(n + 1)n n

lim

lim n

n→∞ an

=

n→∞ (n +

n

1)n +1

=

n ! n→∞ (n +

1)n +1

= =

n→∞ (n + 1)n

 

= lim

n→∞

n

n

 1 

 

= lim

n→∞ 

1 = 1 .

n

1  e

nn 1+ 

 n 

1+ 

 n 

 

Так как

1 < 1 , данный ряд сходится.

e

 

∞ 1

б)

n 2

 n + 1

∑ n  n  .

n =1 3  

Для данного ряда легко находится

lim n an , поэтому целе-

n→∞

сообразно использовать предельный признак Коши:

n

n

 +   

 

lim n a

= lim 1 n

1 = lim 1 1 + 1 

= e .

n→∞

n n→∞ 3  n 

n→∞ 3  n  3

 

Так как

e < 1 , данный ряд сходится. 3

∞

в) ∑

n = 2 n

1 .

ln n

Попытка использовать признак сравнения к этому ряду не подходит, так как:

1 >

n ln n

n3 / 2

∞

, ⇒ ряд ∑

n =1

n3 / 2

 

сходится, а из сходимости ряда

с меньшим общим членом не следует сходимость ряда с боль- шим членом. Таким образом, воспользуемся интегральным при-

 

знаком Коши, введём функцию:

 

f (x) =

x

ln x

 

, которая при

x → +∞

монотонно стремится к нулю, и исследуем на сходи-

∞

x

мость интеграл: ∫

ln x

 

dx .

+∞ 1

∫ x ln x

b

∫

dx = lim

b→+∞ x

ln x

b

∫

dx = lim

b→+∞

d (ln x)

=

ln x

2 2 2

 

= lim 2

b→+∞

 

ln x b =

lim (2

b→+∞

 

ln b − 2

ln 2 )=

 

+ ∞ .

Интеграл расходится, следовательно, данный ряд тоже расхо- дится.

3. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

∞ (− 1)n−1

∑ 5 4

3n2

.

n =1 n − n + 2

Для исследования ряда на сходимость применим признак Лейбница. Покажем, что с ростом n абсолютные величины члена ряда монотонно убывают. Оценим сверху an :

3n2

3n2

3n2 3

, n 1;

< = = ∀ >

n5 − n4 + 2 n5 − n4 n4 (n − 1) n2 (n − 1)

a1 > a2

lim a

> a3

= lim

> ... > an

3n2

> an +1 .

= 0 , то есть ряд сходится.

n→∞ n

n→∞ n5 − n4 + 2

4. Найти область сходимости функционального ряда:

∞ (x −2)n

∑ n .

n =1 3 n

Признаки сходимости, которые использовались при вы- полнении второго задания, имеют место только для рядов с по- ложительными членами. Поэтому имеет смысл исследовать на

 

∞

сходимость ряд ∑

(x − 2)n n

 

, составленный из абсолютных ве-

n =1 3 n

личин членов данного ряда. Применяя к этому ряду признак Д`Аламбера, получим:

 

lim

(x − 2)n +1 n 3n

3 1 (n + 1) (x − 2)

= lim n

n + 1

x − 2

=

x − 2

3

n→∞ n +

n n→∞

.

 

x − 2

Исследуемый ряд будет сходиться при условии, что

< 1 ,

то есть при

x − 2 < 3 , ―1< x <5.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При

 

x = −1

 

получим ряд

∞

∑

n =1

(− 3)n

3n n

∞

= ∑

n =1

(− 1)n

n

 

, который сходится по

теореме Лейбница. При

∞

x = 5

получим гармонический ряд

∑

n =1

1 , который расходится. Таким образом, данный ряд схо-

n

дится на полуоткрытом интервале [− 1; 5).

 

5. Разложим функцию степеням x .

f (x) =

 

1 в ряд Тейлора по 7 − x

Вычислим производные:

 

′( ) = (− 1) (− 1)

 

1 , f ′(0) = 1 ;

f x (7 − x)2

= (7 − x)2 72

f ′ (0) = 2 ⋅1 ;

′ ( ) = (−2)(− 1) = 2 ⋅1 ,

f x (7 − x)3

′′ =

f ′′(0) = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 3 ! ;

74 74

f (n )(x) = n (n − 1)...1 ,

f (n )(0) = n ! .

Отсюда

7 − x

7 72

73 74

7n +1 x

n =0

Исследуем полученный ряд на сходимость, применяя при-

lim

= lim

⋅ 7n +1 x

n→∞ an

n→∞

x

7n + 2 ⋅ xn 7

(7 − x)3 73

3 ⋅ 2 ⋅1 ,

f (x) (7 − x)4



(7 − x)n +1

7n +1

n

n

1 1 1 1 1 1 ∞ 1

= + x +

x2 +

x3 + ... +

+ ... = ∑

7n +1 x .

знак Д`Аламбера:

an +1

xn +1

= .

Ряд сходится при условии

− 7 < x < 7 .

< 1 , то есть 7

x < 7 , или для

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала сходи-

мости. На левой границе интервала при вой ряд:

x = −7 , получим число-

1 − 1 + 1 − 1 + ... , который расходится, так как не выполнен не-

7 7 7 7

обходимый признак сходимости: lim an

n→∞

≠ 0 .

При

x = 7

(правая граница интервала сходимости), получим

числовой ряд:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + ..., который тоже расходится.

7 7 7 7

Таким образом, областью сходимости является интервал

(− 7; 7).

6. Разложить функцию в ряд Фурье:

( )

x,

f x = 

0,

при при

− π < x < 0 0 ≤ x < π

 

в интервале (− π; π).

Заметим, что задача на разложение функции в ряд Фурье состоит в том, чтобы, используя соответствующие формулы, найти коэффициенты ряда и записать ряд Фурье. Очень важно затем выяснить вопрос о сходимости ряда и тем самым устано-

вить связь между заданной функцией

f (x)

и функцией

S (x),

являющейся суммой полученного тригонометрического ряда.

Так как функция

f (x)

задана на интервале (− π; π), коэф-

фициенты ряда Фурье находятся по формулам:

π

a =

1

π

0 ∫

− π

π

a =

1

π

n ∫

− π

π

b =

1

π

n ∫

− π

 

f (x) dx ;

 

 

f (x) cos nx dx ;

 

 

f (x) sin nx dx .

В нашем случае будет:

 

a0 =

1 0



π

∫

 − π

π

x dx + ∫





0 dx =



1 x 2

⋅

π 2

0 π

= − ;

− π 2

a =

1

π

n ∫

− π

 

x cos nx dx =

1 sin nx 0

1 1 0

1 1 0

= x − ⋅

π n −π π n

∫sin nx dx =

− π

· 2 cos nx =

π n

− π

 

0,

если

n = 2k;

= 1 ⋅1

(cos 0 − cos nπ) =  2

 

π n2





 π n2 ,

если

n = 2k − 1.

 

bn =

0 1 1

∫ x sin nx dx = − ⋅

 

x cos nx

 

+ 1 ⋅ 1 sin nx =

π − π

1

π n

(− 1)n +1

− π π n − π

= cos n π = .

n n

Таким образом, ряд Фурье данной функции имеет вид:

n =1

π 2 ∞ 1

∞ (− 1)n +1

− + ∑

4 π n =1

(2n − 1)2 cos (2n − 1) x + ∑

sin nx .

n

Так как функция

f (x)

непрерывна на интервале (− π; π),

то ряд сходится в каждой точке интервала (− π; π)

к функции

f (x) , это значит, что на интервале (− π; π) имеет место равен- ство:

n =1

π 2 ∞ 1

∞ (− 1)n +1

f (x) = − + ∑

4 π n =1

(2n − 1)2 cos (2n − 1) x + ∑

sin nx .

n

Например, при

x = 0 будет:

π 2 ∞ 1

0 = − + ∑

4 π n =1

(2n

− 1)2

или

∞

∑

n =1

 

 

1 π2

(2n − 1)2 = 8.

На концах интервала (− π; π) сумма ряда Фурье будет равна:

f (− π + 0) + f (π − 0) = 0 − π = − π .

2 2

6′ . Разложить в ряд Фурье функцию

вале (―1; 1).

f (x) = x

на интер-

Функция

f (x)

задана на интервале (− l; l )

чётная, поэтому ко-

эффициенты ряда Фурье вычисляются по формулам:

 

l

a =

2

l

0 ∫

l

a =

2

l

n ∫

bn = 0 .

 

f (x) dx ;

 

 

f (x) cos n π

l

 

x dx ;

В нашем случае будет:

a0 = 2 ∫

x dx = 1;

 

 x sin n π x

 

cos n π x  1

an = 2 ∫

x cos nx π dx = 2 



0,

n π если

+

 

n = 2k;

 =

n2 π2  0

= 2 (cos n π − 1) =  4

 

n2 π2





− n2 π2 ,

если

n = 2k − 1.

Таким образом, ряд Фурье данной функции имеет вид:

1 4 ∞ 1

2 π2

− ∑

k =1

(2k − 1)2 cos π x .

Так как

f (x)

непрерывна на интервале (―1; 1), во всех точках

этого интервала имеет место равенство:

1 4 ∞ 1

2 π2

x = − ∑

k =1

Например, при

(2k − 1)2 cos (2k − 1) π x .

x = 0 будет:

1 4 ∞ 1

2 π2

0 = − ∑

k =1

 

(2k − 1)2

или

∞

∑

k =1

 

 

1 π2

(2k − 1)2 = 8.