Необходимое условие разложения. Единственность разложения
Из теоремы 1 следует, что для разложения функции f(x) в ряд Тейлора необходимо, чтобы функция была дифференцируема бесконечное число раз. Таким образом, необходимым условием разложимости функции в ряд Тейлора является наличие у функции f(x) производных всех порядков. Если функция разложима в степенной ряд, то в соответствии с теоремой 1 коэффициенты в разложении определяются по формулам (4). В этом и заключается единственность разложения. Достаточные условия разложения функции в ряд определяются следующей теоремой. Теорема 2.Пусть функция f(x) имеет производные всех порядков. Для того, чтобы функция f(x) в некотором промежутке (а – R, а + R) являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, т. е. разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член Rn(x) формулы Тейлора для этой функции стремился к нулю при n ® ¥ для всех х из указанного промежутка. Доказательство. Пусть f(x) есть сумма ряда Тейлора, а его n-я частичная сумма, тогда имеет место формула Тейлора . Отсюда Rn(x) = f(x) – sn(x), , но т. к. , то получается, что . Теорема доказана. Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? То есть, если функция f(x) бесконечно дифференцируема на интервале [a – R; a + R], где R ¹ 0, и для нее формально построен ряд Тейлора f(x) = а0 + а1 (х – a) + а2 (х – a)2 + . . . + an (х – a)n + . . . , то будет ли он сходиться на интервале [a – R; a + R] и, если да, то будет ли его сумма равна функции f(x)? В общем случае ответ на этот вопрос является отрицательным, как показывает пример функции Эта функция бесконечно дифференцируема на всей оси х, причем в начале координат f(0) = f¢(0) = f²(0) =. . . = f(n)(0) = fn+1)(0) = . . .= 0. Следовательно, все коэффициенты ряда Тейлора для этой функции равны нулю, ряд Тейлора сходится на всей оси Х, и его сумма тождественно равна нулю, в то время как данная функция равна нулю только в начале координат. Таким образом,стремление к нулю остаточного члена формулы Тейлора для функции обеспечивает возможность разложения ее в степенной ряд. На практике убедиться в стремлении к нулю остаточного члена формулы Тейлора для заданной функции бывает сложно. Существует простой достаточный признак условия разложения функции в степенной ряд, который мы сформулируем в виде теоремы. Теорема 3. Если в некотором промежутке изменения аргумента х функция f(x) имеет производные всех порядков и эти производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же постоянным числом: , (6) то составленный для f(x) ряд Тейлора сходится к f(x) в указанном промежутке. Доказательство. Запишем остаточный член формулы Тейлора в так называемой форме Лагранжа: , где с – некоторое промежуточное число, лежащее между х и х0. Ввиду (6) для него получим оценку . Выражение является общим членом сходящегося ряда с положительными членами и поэтому ® 0 при n ® ¥ при любом х из указанного промежутка. Следовательно, и в силу теоремы 2 ряд Тейлора сходится к f(x) в рассматриваемом промежутке. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|