Ряд геометрической прогрессииСтр 1 из 8Следующая ⇒
Числовые ряды Основные понятия
Числовым рядом называется выражение вида где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: . Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через , т.е. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают: Если не существует или = , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:
Свойство 1. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.
Обозначим n-ю частичную сумму ряда через . Тогда Следовательно, , т.е. ряд сходится и имеет сумму cS. Покажем теперь, что если ряд расходится, , то и ряд расходится. Допустим противное: ряд сходится и имеет сумму . Тогда Отсюда получаем: т.е. ряд сходится, что противоречит условию о расходимости ряда.
Свойство 2. Если сходится ряд и сходится ряд А их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно .
Обозначим n-е частичные суммы рядов , и через , и соответственно. Тогда т.е. каждый из рядов сходится, и сумма его равна соответственно. Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Свойство 3. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда, будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n>k будет выполняться равенство , где – это n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому + . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов. Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов. Ряд = называется n-м остатком ряда . Он получается из ряда отбрасыванием n первых его членов. Ряд получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд и его остаток = одновременно сходятся или расходятся. Из свойства 3 также следует, что если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю при , т.е.
Ряд геометрической прогрессии
Исследуем сходимость ряда , который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость. Как известно, сумма первых n членов прогрессии находится по формуле . Найдем предел этой суммы: . Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:
a+a+a+…+a+…, для него и , т.е. ряд расходится; при q=-1 ряд принимает вид а – а + а – а +...- в этом случае при четном n и при нечетном n. Следовательно, не существует, ряд расходится. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|