Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях.
Дискретная САУ получает входную информацию и выдаёт выходную информацию в дискретные моменты времени. Поэтому при исследовании дискретных систем рассматривается их поведение только в дискретные моменты времени nT0, где Т0 такт счёта, n=0,1,2,… — номер такта счёта. Для этого вводится понятие решётчатых функций. Решётчатой называют функцию, которая существует лишь в дискретные равноотстоящие друг от друга значения времени и в промежутках между этими значениями равна нулю. На рис. 2.3.1 сплошными вертикальными линиями показана решетчатая функция f[nT0].
Рисунок 2.3.1.
Непрерывной функции (пунктирная кривая) соответствует одна и только одна решётчатая функция, а одной решётчатой функции соответствует бесконечное количество непрерывных функций. Часто в цифровых САУ используется безразмерное время. Пусть безразмерное непрерывное время определено выражением , (2.3.1) тогда безразмерное дискретное время будет , n=0,1,2,… (2.3.2) Непрерывные системы обычно описываются дифференциальными уравнениями. Дискретные системы описываются разностными уравнениями. Рассмотрим разностные уравнения и их соотношения с дифференциальными уравнениями. Для операции дифференцирования можно записать , т.е. операции дифференцирования с точностью до коэффициента 1/Т0 соответствует операция вычитания (разность). В безразмерном времени разности обозначают так: – первая прямая разность, – первая обратная разность, (2.3.3) где - оператор «дельта», - оператор «набла». Аналогом второй производной по времени являются вторая прямая и обратная разности. . (2.3.4) Аналогично можно получить разности более высоких порядков. Дискретным аналогом интеграла является полная сумма . (2.3.5) Выше была установлена связь между производной и конечными разностями и интегралом и суммой. Дифференциалы и интегралы используются для описания систем в непрерывном времени в виде дифференциальных и интегральных уравнений. Поведение дискретной системы в дискретные моменты времени описывается разностными уравнениями. Разностными уравнениями можно описать и непрерывную систему, но её поведение будет характеризоваться только в дискретные моменты времени. Рассмотрим связь между дифференциальными и разностными уравнениями на примере . С помощью полученных выше соотношений составляем разностное уравнение, используя обратные разности или , или , где , . Если f[n]=0, то разностное уравнение называется однородным, если f[n]¹0, то разностное уравнение называется неоднородным. В общем случае разностное уравнение можно представить в виде (2.3.6) (6) — разностное уравнение к-го порядка. Для решения необходимо знать начальные условия, т.е. значения y(n) в предыдущие моменты времени y(0), y(1), y(k-1). В дифференциальных уравнениях для сведения к алгебраическому уравнению используют оператор дифференцирования . Для решения разностного уравнения путём сведения его к алгебраическому уравнению используют оператор сдвига z, так что и т.д… (2.3.7) С помощью оператора сдвига уравнение (6) перепишется в виде , (2.3.8) откуда формально можно записать , (2.3.9) где ─ передаточная функция дискретной системы. Если в W(z) знаменатель приравнять к нулю, то получится характеристическое уравнение, соответствующее разностному уравнению (6). (2.3.10) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|