 |
|
Передаточные функции СРП (регулятора). Формула Тастина.
Передаточная функция определяется выражением
.
Передаточная функция D(z) описывает алгоритм переработки входной последовательности чисел x[nT0] в выходную u[nT0] в соответствии с принятой программой вычислений. В общем виде закон управления имеет вид
.
В качестве примера рассмотрим типовые регуляторы: ПИ-, ПД-, ПИД- регуляторы, которые в непрерывном времени в общем виде выглядят так:
. (2.10.1)
Операции дифференцирования 
в непрерывном времени соответствует разность
Тогда передаточная функция дискретного дифференциатора
(2.10.2)
Операции интегрирования
сопоставляется суммирование. По формуле трапеций получим соответствующее разностное уравнение
. (2.10.3)
Для предыдущего значения
(2.10.4)
Вычитая из (3) (4), получим
(2.10.5)
В отличие от (3) выражение (5) является рекурентным. (Рекурентность – свойство последовательности, заключающееся в том, что любой ее член может быть вычислен по значениям предыдущего или нескольких предыдущих членов).
В операторном виде выражение (5) будет выглядеть так:
. (2.10.6)
Дискретная передаточная функция интегратора в соответствии с (6) выглядит следующим образом:
. (2.10.7)
Формула (7) называется формулой Тастина.
Дискретный позиционный сигнал с передаточной функцией определяются выражениями
(2.10.8)
Помимо дискретной передаточной функции дифференциатора (2), полученной с применением конечных разностей, из формулы Тастина (7) можно получить более точную формулу дифференциатора
(2.10.9)
ПИД—регулятор в непрерывном времени с его передаточной функцией описываются выражениями
.
ПИД—регулятор в дискретном времени имеет передаточную функцию, записанную с помощью выражений (8), (7), (9), в виде
. (2.10.10)
Дискретное уравнение ПИД—регулятора можно получить из второго равенства в (10), а именно
.