Измерения. Виды измерений.

Процесс научного познания включает: а) восприятие – начальное изучение исследуемого явления с помощью наблюдения; б) обобщение, которое заключается в формулировании гипотезы и разработке теории; в) доказательство правильности гипотезы и теории на практике; г) оценка достоверности полученного результата.

Практика, как правило, включает в себя эксперимент. Хотя он является не единственным способом исследования, но его роль как критерия истины неоценима.

Цель любого эксперимента – установить взаимосвязь между исследуемыми величинами и их параметрами. Параметр– это некоторое числовое значение, характеризующее данную физическую величину и остающееся постоянным при определенных условиях.

Количественная зависимость между исследуемыми величинами и их параметрами устанавливается путем измерений в ходе эксперимента.

Измерением называется процесс сравнения исследуемой физической величины с другой, однородной с ней величиной, принятой за эталон. Однородными называют такие величины, которые характеризуют одно и то же свойство материи и могут отличаться только числовыми значениями.

В зависимости от способа принято различать прямые и косвенные измерения.

Прямое измерение – это измерение, проведенное с помощью инструмента или прибора путем непосредственного сравнения исследуемой величины с эталоном.

Косвенноеизмерение– получение числового значения исследуемой величины на основании результатов прямых измерений величин, связанных с ней некоторой функциональной зависимостью.

Несмотря на точность применяемых инструментов и приборов, тщательность в проведении измерений, истинное значение исследуемой величины не может быть достигнуто. Это обусловлено тем, что процесс измерений неизбежно сопровождается погрешностями, причины которых могут быть самыми различными. Погрешности оказывают влияние на точность измерений.

Поэтому в задачу измерений входит не только определение числового значения искомой величины, но и оценка допущенных при этом погрешностей.

2. Системы единиц измерения.

В 1791 г. по предложению специальной комиссии Французской академии наук, в состав которой входили такие выдающиеся ученые, как П.С. Лаплас, Ж.Л. Лагранж и др., за единицу длины было взята одна десятимиллионная четверть парижского меридиана, а для системы единиц – десятичную основу.

Для определения метра измерили длину дуги меридиана 9º40' между городами Дюнкерком и Барселоной (около 1000 км). Затем из платиноиридиевого сплава был изготовлен эталон метра.

Эталон килограмма – единицы массы, который равен массе 1 дм³ воды при температуре 4ºС, изготовили из того же самого сплава.

В 1875 г. В Париже 17 стран, в том числе и Россия, подписали Метрическую конвенцию.

В 1889 г. по случаю 100-летия Великой Французской революции было изготовлено 34 копии метра и 43 копии килограмма. Первая Генеральная конференция мер и весов утвердила их как национальные эталоны для стран Метрической конвенции.

Но со временем металлические эталоны изменялись. Тогда эталон метра пришлось сравнивать с определенной длиной световой волны.

Метр равен длине пути, который проходит в вакууме свет за 1/299 792 458 часть секунды.

Также было определено, что период суточного обращения Земли, который был взят как эталон времени, не остается постоянным. С 1872 по 1903 г. средняя продолжительность суток увеличилась на 0,07 с, а с 1903 по 1934 г. она уменьшилась на 0,005 с, после чего снова возрастает. Пришлось выбрать более надежный эталон времени.

Секунда – это время, равное 9 192 631 770 периодам излучения, которое соответствует переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Единицей массы является килограмм, представленный массой международного прототипа килограмма.

В физике приходится измерять много различных величин. Все они отображают свойства матери, ее движение и поэтому находятся в определенных зависимостях. Исходя из этого немецкий ученый К.Ф. Гаусс в 1832 г. пришел к выводу, что если выбрать произвольные единицы некоторый наиболее часто употребляемых величин (например, длины, массы и времени), то для остальных величин можно найти производные единицы, и таким образом получить систему единиц.

В 1881 г. Международный конгресс принял систему единиц СГС: сантиметр-грамм-секунда.

Позднее появились системы с другими основными единицами МКСА: метр-килограмм-секунда-ампер и др. В определенных отраслях науки и техники преимущественно использовали одну систему единиц, в других – другие, но со временем назрела необходимость создания единой системы единиц.

Только в 1960г. была принята Международная система единиц СИ (система интернациональная), которая содержит семь основных единиц (табл. 1).

Существенным преимуществом этой системы является то, что она охватывает и связывает наиболее удобные для практики единицы механических, тепловых, электрических, световых и др. величин.

табл. 1

Величина	Единица	Сокращенное обозначение
русское	международное
Длина	метр	м	m
Масса	килограмм	кг	kg
Время	секунда	с	s
Термодинамическая температура	кельвин	К	К
Сила электрического тока	ампер	А	А
Сила света	кандела	кд	cd
Количество вещества	моль	моль	mol

С 01.01.99 в Украине действуют ГСТУ 3651.0 – 97 «Метрология. Единицы физических величин. Основные единицы физических величин Международной системы единиц. Основные положения, названия и обозначения» и ГСТУ 3651.1 – 97 «Метрология. Единицы физических величин. Производные единицы физических величин Международной системы единиц и внесистемные единицы. Основные понятия, названия и обозначения».

Согласно этим стандартам использование единиц СИ обязательно как в научно-технической литературе, так и в учебном процессе в учреждениях образования всех уровней.

3. Погрешности. Виды погрешностей.

Погрешность – это отклонение измеренного значения искомой физической величины от ее истинного значения. Допускаемые при измерениях погрешности принято разделять на три вида: систематические, случайные и промахи.

Промахи (грубые ошибки) – это очевидные ошибочные измерения, значительно отличающиеся от результатов повторных измерений, близких между собой. Промахи могут быть обусловлены невнимательностью исследователя, неисправностью прибора, небрежностью записи и т.п. При обработке данных такой результат не учитывают и проводят повторные измерения.

Систематическими называют погрешности, которые при повторных измерениях остаются постоянными и отклоняют результат измерений в одну и ту же сторону: либо только в сторону увеличения, либо только в сторону уменьшения. Систематические ошибки могут быть учтены, если выявлена их причина.

Случайными называются погрешности, обусловленные множеством причин, не поддающихся контролю и учету, которые отклоняют измеренное значение от истинного как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения. Указанные погрешности можно уменьшить, но полностью их устранить невозможно.

Случайные ошибки подчиняются статистическим закономерностям и описываются теорией вероятности.

4. Определение случайных погрешностей при прямых измерений.

Обозначим через x₁, x₂, …x_n результаты измерений какой-либо величины. В таком случае наиболее вероятной, близкой к истинному значению, является величина, называемая средним арифметическим всех, полученных при измерениях значений.

, (1)

где п – число измерений.

Случайные отклонения в разные стороны равновероятны. Данный случай описывается нормальным распределением Гаусса.

Пусть Dх – случайная ошибка измерения величины х. Это непрерывная случайная величина, подчиняющаяся определенному закону распределения. Введем j(Dх) – плотность распределения вероятности ошибки Dх. Ошибки разных знаков равновероятны. Чем больше ошибка по абсолютной величине, тем меньше ее вероятность, т.е. j(Dх) монотонно убывает при возрастании Dх. На рис.1 изображено нормальное распределение Гаусса:

, (2)

где s² – дисперсия величины Dх.

рис.1 рис.2

Дисперсия характеризует разброс случайных величин Dх, так как является параметром кривой распределения. При большей дисперсии кривая расплывается, менее – ярко выражен максимум, более вероятны большие отклонения (рис.2).

Так как случайные ошибки имеют статистический характер, то можно только найти только вероятность появления той или иной ошибки по формуле (2).

Вероятность того, что измеряемая величина содержится в интервале , называется надежностью р (соответствующей Dх).

Абсолютно точное значение измеряемой величины определить невозможно, потому в качестве измеряемой величины рассматривают его среднее значение . Результат измерений записывают в виде:

и обязательно указывают достоверность этого результата р. Такая запись показывает в каких пределах содержится истинное значение измеряемой величины с определенной надежностью.

Для оценки допущенной ошибки необходимо знать квадратный корень из дисперсии метода измерений. Но при практических измерениях не существует аналитических формул для определения дисперсии, поэтому дисперсию определяют экспериментально по допущенным абсолютным ошибкам.

Абсолютной погрешностью отдельного измерения |Dх_i| называется взятая по модулю разность между отдельно измеренным значением х_i и средним арифметическим :

|Dх₁| = |х₁ – | (3)

. . . . . . . . . . . . .

|Dх_п| = |х_п – |

Абсолютная погрешность отдельного измерения имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Среднюю абсолютную погрешность |D |вычисляют как среднее арифметическое абсолютных погрешностей отдельных измерений Dх_i, взятых по модулю:

(4)

Средняя квадратичная ошибка (отклонение) равняется квадратному корню из дисперсии измерений . Дисперсия равна:

Практически n выбирают конечным и в качестве дисперсии рассматривают ее приближенное значение. Тогда средняя квадратичная ошибка равна:

(5)

То есть чем больше число измерений, тем меньше значение (5).

В 1908 г. Боссет (псевдоним «Стьюдент») доказал, что статистический подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n® переходит в распределение Гаусса, а при малом числе измерений мало отличается от него (рис.3). Функция распределения Стьюдента табулирована. Определив среднюю квадратичную ошибку s из (5) и параметр распределения t:

, (6)

по таблице можно определить достоверность р.

Точностьизмерений характеризуется относительной погрешностью Е,которая показывает, какую долю измеренной величины составляет средняя абсолютная погрешность. Точность вычисляется как отношение средней абсолютной погрешности D к среднему арифметическому :

Е = ± (7)

Она выражается как в процентах, так и относительных единицах.

Относительная погрешность позволяет производить сравнение точности измерений физических величин и методов, которые при этом применяются. Знаки «±» указывают, что погрешность может, как увеличивать, так и уменьшать результат измерений.

Пример. В результате измерений диаметра d абразивных зерен получены следующие значения: d₁ = 2,83мкм; d₂ = 2,82мкм; d₃ = 2,81мкм;
d₄ = 2,85 мкм; d₅ = 2,87 мкм. Найти среднее арифметическое значение и оценить точность измерений, достоверность результата.

Дано: Решение.

d₁ = 2,83 мкм 1. Среднее арифметическое находим по формуле:

d₂ = 2,82 мкм

d₃ = 2,81 мкм 2. Подставляем числовые значения:

d₄ = 2,85 мк м

d₅ = 2,87 мк м 3. Находим абсолютные погрешности отдельных измерений:

п = 5 |Dd₁| = |d₁ – | = |2,83 – 2,836| = |0,006| (мкм)

– ? Е – ? |Dd₂| = |d₂ – | = |2,82 – 2,836| = |0,016| (мкм)

|Dd₃| = |d₃ – | = |2,81 – 2,836| = |0,026| (мкм)

|Dd₄| = |d₄ – | = |2,85 – 2,836| = |0,014| (мкм)

|Dd₅| = |d₅ – | = |2,87 – 2,836| = |0,034| (мкм)

4. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность |D | по формуле:

|D | =

|D | = .

5. Вычисляем относительную погрешность:

Е = × 100% = × 100% = 0,7%.

6. Рассчитываем среднеквадратичное отклонение:

7. Подставляем числовые значения:

8. Рассчитываем параметр t:

9. По таблице Стьюдента определяем параметры t₁, t₂ и достоверности p₁,p₂:

t₂ > t > t₁: t₁ = 1,5 и t₂ = 2

p₁ = 0,78 и p₂ = 0,884.

10. Рассчитываем достоверность результата по формуле:

11. Окончательный результат записываем в виде доверительного интервала, в середине которого находится истинное значение диаметра:

2,836 – 0,019 £ d £ 2,836 + 0,019 (мкм)

2,817 £ d £ 2,855 (мкм).

Ответ: диаметр d = (2,836 ± 0,019) мкм при Е = 0,7% и достоверности р = 0,838.

Определение случайных погрешностей при косвенных измерениях. В большинстве случаев при проведении измерений исследуемая физическая величина не может быть непосредственно измерена, а является функцией одной или нескольких величин, которые измеряют с помощью прямых методов.

Пусть для нахождения величины x пришлось измерить величины m, n, k. Величины x, m, n, k связаны функциональной зависимостью x = f (m, n, k).

В этом случае средняя абсолютная ошибка D x_ср может быть найдена по правилам дифференцирования, если знак дифференциала d заменить знаком ошибки D и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной, т.е.

(8)

(9)

В частности, если зависимость имеет вид x = f (m), то формула (8) имеет вид:

относительная ошибка находится по формуле (7):

Е = ,

а так как дифференциал натурального логарифма

, (10)

то

или

(11)

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой знаков d на D.

Относительную ошибку измерения следует вычислять в такой последовательности:

1. прологарифмировать расчетную формулу;

2. найти от логарифма полный дифференциал;

3. если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю; знак d заменить на D; знаки выбирают так, чтобы абсолютная величина относительной ошибки была максимальной.

Пример. При определении модуля Юнга расчетная формула имеет вид: