 |
|
Зробіть графік даної функції.
(графік)
Зобразимо функцію та її періодичне продовження на всю числову вісь.
Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.
Дана функція є парною, тому будемо застосовувати формули (11.13). В інтервалі 
функція визначається формулою 
.
Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.
. 
Якщо 
парне, то 
і
, 
.
Якщо непарне, 
, то 
і
, 
.
При 
отриманий тут загальний вираз для 
не прийнятний, внаслідок чого коефіцієнт 
обчислюємо окремо, поклавши в загальну формулу (11.13).
.
Запишіть шуканий ряд Фур’є.
Шуканий розклад:
.
Знайдіть суму заданого в умові числового ряду.
При 
отриманий розклад перетворюється в рівність
, звідки і визначається сума числового ряду, вказаного в умові:
, 
.
Зауваження.У цьому прикладі, як і у прикладі 11.20, виявилося, що для заданої функції один із коефіцієнтів ряду не можливо було обчислити за загальною формулою. Тому при розкладанні функції в ряд Фур’є після знаходження загальних виразів для коефіцієнтів і 
слід перевірити, чи будуть вони прийнятні при всіх значеннях . Для тих значень , при яких ці вирази втрачають сенс, необхідно обчислювати відповідні коефіцієнти окремо, підставляючи ці вилучені значення в загальні формули Фур’є.
Приклад 11.21. Розкласти функцію 
, , в неповні ряди Фур’є які містять тільки косинуси, або тільки синуси
Зробіть графік функції для розкладання її в ряд Фур’є по косинусам.
(графік)
Продовжимо задану функцію на відрізок 
парним чином 
. Одержану функцію продовжимо на всю числову вісь з періодом 
.
З’ясуйте, які формули будете застосовувати.
Далі скористаємося формулами (11.13) розкладання в ряд Фур’є парної функції з періодом 
.
Знайдіть коефіцієнти Фур’є.
(для обчислення інтеграла, тут і далі будемо використовувати інтегрування частинками).
.
Якщо 
, , то 
і
.
Якщо 
, , 
і 
.
Коефіцієнт обчислюємо окремо:
.