Главная | Обратная связь

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд Фурье

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию f( t) ,удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

f(ωt) = A0 + A1sin( t+𝜓 1) + A2sin(2𝜔t+𝜓 2) +…. + Aksin(k𝜔t+𝜓 k)+…. = A0 + ∑Aksin(kω+ψk). (2.1) После раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих ряд Фурье приобретает вид: A0 + B1sin𝜔t + B2sin2𝜔t +…. + Bksink𝜔t+…. + C1cos𝜔t + C2cos2𝜔t +…. + Ckcosk𝜔t +….= A0 + + sink t (2.2)

, ,

где

(2.3)

(2.4)

(2.5)

Первый член ряда A₀ называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой. Второй член A₁sin( t +𝜓 ₁) имеет частоту, равную частоте функции f(𝜔t) и называется первой или основной гармонической составляющей (коротко - гармоникой). Остальные члены ряда вида A_ksin(k𝜔t+𝜓 _k) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками. Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

Из выражения (2.2) следует, что каждую гармонику ряда Фурье можно представить в виде двух составляющих - синусной B_ksink𝜔t и косинусной C_kcosk𝜔t. Амплитуды этих составляющих B_k и C_k называются коэффициентами ряда Фурье.

Разложение в ряд Фурье всегда однозначно в отношении постоянной составляющей, а также амплитуд и частот гармонических составляющих. В то же время, начальные фазы гармоник изменяются при изменении момента времени, принятого за начало отсчета. Таким образом, ряд Фурье можно определить, задав номера, амплитуды и начальные фазы гармоник или номера и амплитуды синусной и косинусной составляющих гармоник. Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной функции называется дискретным частотным спектром. Спектр можно характеризовать амплитудо-частотной характеристикой(АЧХ) –совокупность амплитуд A_k и фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) – совокупность начальных фаз .Спектры функций удобно изображать отрезками прямых линий, пропорциональных соответствующим величинам. Принято АЧХ строить в относительных единицах: , выполняя нормировку по амплитуде 1-ой гармоники.

Пусть задано напряжение:

u (t)=10+20sin(500t+𝜋 /6)+5sin(1500t+𝜋/4)+7sin(2500t+2𝜋 /3).

Тогда

На рисунке 2.1 представлены АЧХ и ФЧХ напряжения u(t).

Рис. 2.1

Для основных типов периодических функций, имеющих геометрически правильную форму - прямоугольную, треугольную, трапециевидную и т.п., выражения для коэффициентов ряда Фурье приводятся в справочниках. Кривые геометрически неправильной формы раскладываются в ряд Фурье графоаналитическим методом с помощью ЭВМ. При проверке полученных результатов разложения в ряд, а также для предварительного исключения из расчетов и анализа коэффициентов, отсутствующих в разложении, полезно отметить некоторые связи между характером периодической функции, и ее частотным спектром. Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 2.2), удовлетворяет условию:

 

Рис 2.2

f(𝜔t) = -f(𝜔t+𝜋). (2.6)

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

+…. = sin(𝜔t+ +

sin(3𝜔t+ +…. (2.7)

В схемах выпрямления переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию.

f(𝜔t) =f(-𝜔t). (2.8)

Такие функции называются симметричными относительно оси ординат (рис. 2.3).

В этом случае ряд не содержит синусов:

e (t)= + cos𝜔t + cos2𝜔t + cos3𝜔t +…. (2.9)

Рис 2.3

схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 2.4).

Рис 2.4

f(𝜔t) = -f(-𝜔t). (2.10)

Рис. 2.4

Такие функции называются симметричными относительно начала координат. Они раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

f(𝜔t) = + + . (2.11)

В кривых бывают и несколько видов симметрии одновременно. Для облегчения вопроса о гармонических составляющих в этом случае заполним таблицу 1.

Таблица 1