Главная | Обратная связь

Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве

 

2. Многомерный вектор

Квадрат радиус-вектора определяется как

 

x₁² + x₂² + … + x_n² = S x_i² (1)

Если ввести тензор вида

g_ij = d_ik = - метрический тензор. (2)

 

то(1) записываем в виде

для i , k =1,n

S g_ik x_i x_k (3)

В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором

 

 

Лекция №8

 

- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)

Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым

Индексы пробегают значения μ, ν = 0,1,2,3

Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой)

(x_o,x_1,x₂,x₃) – 4-прстранство

Обозначения

x_o = ct ; x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z

действие матричного оператора на вектор- в результате вектор

- вектор четырехмерного пространства

Выражение для результирующего вектора имеет вид

r = ct – x – y – z

алгебраическая запись действия матричного оператора

x= ^/ = ct^/ - x₁^/ - x₂^/ - x₃^/

Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования.

Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве

- инвариант

- матрица прямого преобразования(обратное-матрица с чертой)

- прямое преобразование (8)

- обратное преобразование

Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора(интервала) запишем

подставим из(8)

(11)

 

(12)

после преобразований получим условие для линейного преобразования

(13)

Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены

(13) препишем в упрощенной форме

m,n= 0,1,2,3 (14)

 

например при m,n= 0, 1- при m,n= 0, 2-при m=1, n=2

 

(15)

(16)

1,2 – следствия из условия неинвариантности

Связь между прямым и обратным преобразованием:

; -прямое преобразование (17)

-обратное преобразование

 

где =1 коэффициент - символ Кронекера - единичная матрица

 

(18)

 

Компоненту можно представить в виде

 

Тогда можно записать

m,n= 0,1,2,3 (20)

 

Система справедлива(удовлетворяется) если положить

1)

2) (21)

3)

4)

i,k = 1,2,3,

например, при m=n= 0 уравнение(20) выглядит в виде

(22)

 

С учетом (21)

a₀₀a₀₀ -∑₁³ a_i0a_i0 =1 (23)

 

что аналогично (15)

При m=1, n= 2

 

∑₁³ a_1ρa_ρ2 =0 (24)

 

Откуда с учетом (21)

-a₁₀a₀₂ +∑₁³ a_i1a_i2 =0 - что похоже на (16)

 

Условие (21) можно записать в виде

При m=0, n= 0

a'₀₀ = a₀₀ (g₀₀ =g₀₀=1)

При m=0, n= i ≠0 как и при m=i≠0, n= 0

будет выполняться

g_μμ =-g_νν , т.е. -1

Поэтому

a'_0i = -a_i0

и

a'_i0 = -a_0i

 

А при m = i ≠ 0, n= k ≠ 0

 

Оба множителя равны -1

g_μμ =g_νν = -1

 

так, что

a'_ik = a_ki

 

(что в (21))

В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x₂=y, x₃ =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x)

Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид

 

Обратное преобразование имеет вид, аналогичный

В системах отсчета K и K' матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p->0 матрицы совпадут

lim_p->0 a₀₀ =lim _p->0a₁₁ =1

lim_p->0 a₀₁ =lim _p->0a₁₀ =0

Записав(14) для m=0, n= 0

a²₀₀ - a²₁₀ =1 (28)

Для обратного преобразования

a'²₀₀ - a'²₁₀ =1

С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21)

a²₀₀ - a²₀₁ =1 (30)

 

Из (28) и (30) следует

 

a²_{10 =} a²₀₁

 

и извлекая корень

a_{10 =} _+ a₀₁

 

Теперь(14) при m=0, n= 1 получим

 

a₀₀ a₀₁ - a₁₀ a₁₁ =0,

 

откуда при

a_{10 =} a₀₁

1. a₀₀ = a₁₁

2. a₀₀ = -a₁₁, если a₀₁ = a₁₀

a₀₀ = a₁₁

a_{10 =} - a₀₁

 

Учитывая, что справедливы соотношения

 

lim_p->0 a₀₀ =lim _p->0a₁₁ =1

 

то справедлив первый вариант. Тогда следует считать

a₀₀ = a₁₁=γ₀

a₀₁ = a₁₀=γ₁

 

_{Тогда (26) перепишем в виде}

 

Отсюда следует:

 

 

,

причем

 

 

Поскольку

,

только один коэффициент является независимым.

Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)

 

a'₀₀ = a₀₀=γ₀

a'₀₁ = -a₁₀=γ₁

 

 

То есть координата x меняются; y,z – const

Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде

 

 

Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца