Геометрический смысл преобразования Лоренца

Это линейное преобразование напоминает преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Это преобразование, характеризующее поворот плоскости xy на угол φ в обычном пространстве выглядит в виде

При таком, сравнении получим, что

Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,

Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид

Это формулы так называемого гиперболического поворота

Преобразование динамики (уравнения Ньютона) для четырехмерного пространства:

; i = 1,2,3 – для евклидового пространства

В случае релятивистской механики уравнения движения записываются для вектора скорости, полученного после преобразований с учетом инвариантности

Четырехмерное обобщение имеет вид

где m = 0,1,2,3 – релятивистская динамика

Здесь время является собственным временем наблюдателя. Масса-инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы. Аналог силы-сила Минковского должна быть определена т.о., чтобы при малых скоростях она переходила в обычное уравнение движения.

В нерелятивистской механике dl, dt являются inv поэтому v=dr/dt – скорость, а ускорение a=dv/dt

Релятивистские dl и dt ≠ inv

inv является интервал ds, связанный с dl и dt. При этом

ds² = c² dt²-dl²

Основная задача найти 4-х мерные аналоги 3-вектора –четырехмерную скорость частицы v и ускорение a.

Родственное dt - собственное время dτ =ds/c→ inv

; -свойства 4-вектора для четырехмерной скорости частицы