Релятивистская механика материальной точки
Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-ремени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки. Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна и косинус угла между векторами а и b равен , где
- скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z , в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус-вектор" c компонентами причем квадрат длины этого вектора равен
Мгновенной скорость материальной точки не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая имеет компоненты - интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки
и
соотношением , т.е. где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский определил следующим образом: Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:
где - так называемая "масса покоя" материальной точки - компоненты так называемой "4-силы " Минковского. Покажем теперь, как уравнения Минковского релятивистской динамики материальной точки связаны с обычными уравнениями Ньютона для материальной точки. Прежде всего очевидно, что
так что
т.е. 4-скорость всегда имеет постоянную величину, чисто мнимую, по модулю равную с. Используя найденные формулы для компонент 4-скорости и формулу для дифференциала собственного времени, имеем следующие
уравнения движения:
Три уравнения, в которые входят легко сопоставить с уравнениями Ньютона. Нужно только предположить, что теперь масса m материальной точки зависит от скорости по закону а импульс движущейся материальной точки определяется формулой где v - вектор мгновенной скорости материальной точки. Четвертое уравнение, в которое входит , оказывается, выражает уравнение баланса кинетической энергии материальной точки. Чтобы в этом убедиться, умножим уравнения Минковского на и на - , соответственно и сложим. Получим тогда уравнение
Отсюда можно найти . Имеем
где - мгновенная мощность, развиваемая силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Таким образом,
и потому рассматриваемое четвертое уравнение примет вид :
Таким образом, величину
следует считать энергией движущейся материальной точки. Если
, то приближенно получаем
Второе слагаемое есть классическая кинетическая энергия материальной точки а первое слагаемое - так называемая "энергия покоя". Кинетической энергией материальной точки в релятивистской механике называют величину Приведем еще одно важное соотношение, связывающее импульс и энергию релятивистской материальной точки. Имеем
так что имеем формулу
В заключение заметим, что описываемое релятивистское обобщение классической механики материальной точки сказалось полезным при применении к электронам и другим элементарным частицам, и, как показали эксперименты, очень хорошо описывают механические движения. Вместе с тем, здесь следует отметить, что попытки релятивистского обобщения уравнений классической механики Ньютона для системы даже двух материальных точек в релятивистской механике не увенчались успехом, здесь она столкнулись с серьезными противоречиями и непреодолимыми трудностями. Некоторые зависимости механики Механика. Кинематика.
Скорость и ускорение. , , Равномерное движение: , ; Равнопеременное движение: a=const, , ; , ; v=v0+at , ; ; Криволинейное движение.
, Вращательное движение. ,, ; ; , ; , ; , , , ; Динамика и статика.
Первый закон Ньютона: Второй закон Ньютона. , , при m=const è Третий закон Ньютона. Основной закон динамики для неинерциальных систем отчета. ma=ma0+Fинерц ,где а- ускорение в неинерциальной а0- в инерциальной системе отчета. Силы разной природы. Скорость центра масс ; Закон всемирного тяготения. , - ускорение свободного падения на планете. - первая космическая скорость. Вес тела. p=mg - вес тела в покое. p=m(g+a) - опора движется с ускорением вверх. p=m(g-a) - опора движется с ускорением вниз. p=m(g-v2/r) - движение по выпуклой траектории. p=m(g+v2/r) - движение по вогнутой траектории. Сила трения. , Закон Гука. Fупр=–kx, - сила упругости деформированной пружины. - механическое напряжение - относительное продольное удлинение (сжатие) - относительное поперечное удлинение (сжатие) , где m- коэффициент Пуассона. Закон Гука: , где Е- модуль Юнга.
, кинетическая энергия упругорастянутого (сжатого) стержня. (V- объем тела) Динамика и статика вращательного движения. - момент импульса ; - момент силы L=const - закон сохранения момента импульса. M=Fl, где l- плечо I=I0+mb2 - теорема Штейнера
Условие равновесия тел Законы сохранения. Закон сохранения импульса. P=mv; - импульс тела.
Ft=DP Потенциальная и кинетическая энергия. Мощность. - работа силы F A=DE - мощность - кинетическая энергия - кинетическая энергия вращательного движения. Ep=mgh - потенциальная энергия поднятого над землей тела. - потенциальная энергия пружины Закон сохранения энергии. Eк1+Eр1=Eк2+Eр2 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|