Главная | Обратная связь

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Предварительно введем понятие рациональной функции от двух переменных u и v, то есть функции получающейся из этих переменных и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления R(u, v). Такова, например, функция

Если переменные u и v, в свою очередь являются функциями переменной x: то функция называется рациональной функцией от и

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций сводящихся к интегралам от рациональных функций.

1. Интегралы вида где a, b, c, d – некоторые числа m – натуральное число. Интегралы данного вида рационализируются подстановкой

2. Интеграл вида где a, b, c – некоторые числа Данный интеграл зависит от корней квадратного трехчлена Если этот трехчлен имеет два различных действительных корня x₁ и x₂, то он сводится к интегралу вида 1, а именно к интегралу

Если x₁=x₂, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, а именно к интегралу

Если же квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, то с помощью подстановки Эйлера

данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции

3. Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

4. Интеграл вида рационализируется подстановкой Действительно,

Практическое занятие 17

Непосредственное интегрирование

Нахождение неопределенных интегралов с помощью таблицы, основных свойств неопределенных интегралов и тождественных преобразований подынтегральных функций называется непосредственным интегрированием.

Пример.Найти неопределенный интеграл

Решение.Выражение в числителе возведем в квадрат и разделим полученное выражение на знаменатель. Применяя таблицу интегралов и их свойства, будем иметь:

Упражнения

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.