Метод замены переменной (метод подстановки)

Если неопределенный интеграл непосредственно не берется, то во многих случаях замена переменной интегрирования приводит к более простому интегралу

Пусть функция определена и дифференцируема на сегменте а множество ее значений принадлежит сегменту [a,b] . Пусть функция y =f(x) определена на [a,b] и имеет на этом сегменте первообразную F(x). Тогда имеет место формула

Полученная формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

После интегрирования нового интеграла полученная функция является функцией переменной t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением которое находится из соотношения .

Пример.Найти интеграл .

Решение. =

Частным случаем метода замены переменной интегрирования является метод подведения под знак дифференциала. Пусть требуется найти интеграл . Предположим, что существует дифференцируемые функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть представлено в виде

(указанное преобразование называется подведением под знак дифференциала). Тогда

т.е. нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла (который может оказаться проще данного) и последующей подстановке .

Полезно запомнить частный случай

Интеграл дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.

Особенно широко применяется метод введения под знак дифференциала в том случае, когда аргументом подынтегральной функции является линейна функция от переменной интегрирования.