Здавалка
Главная | Обратная связь

Метод замены переменной (метод подстановки)



 

Если неопределенный интеграл непосредственно не берется, то во многих случаях замена переменной интегрирования приводит к более простому интегралу

Пусть функция определена и дифференцируема на сегменте а множество ее значений принадлежит сегменту [a,b] . Пусть функция y =f(x) определена на [a,b] и имеет на этом сегменте первообразную F(x). Тогда имеет место формула

Полученная формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

После интегрирования нового интеграла полученная функция является функцией переменной t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением которое находится из соотношения .

Пример.Найти интеграл .

Решение. =

Частным случаем метода замены переменной интегрирования является метод подведения под знак дифференциала. Пусть требуется найти интеграл . Предположим, что существует дифференцируемые функция и функция такие, что подынтегральное выражение может быть представлено в виде

(указанное преобразование называется подведением под знак дифференциала). Тогда

,

т.е. нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла (который может оказаться проще данного) и последующей подстановке .

Полезно запомнить частный случай

Интеграл дроби, числитель которой есть дифференциал знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.

Особенно широко применяется метод введения под знак дифференциала в том случае, когда аргументом подынтегральной функции является линейна функция от переменной интегрирования.

Пример.Найти интеграл

Решение.

Пример.Найти интеграл

Решение.

Упражнения

1. 2.

3. 4.

5. . 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14. .

15. . 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

337. . 34.

35. . 36.

37. 38.

39. 40.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.